Question

um poliedro de platão possui 12 faces pentagonais, quantos arestas e vértices ele possui?

Answer 1

Diz-se que o poliedro apresenta 12 faces pentagonais. Logo, o número de faces é F = 12.

Perceba que a soma do número de lados de todas as faces do poliedro é igual ao dobro do número de arestas dele, já que cada aresta é compartilhada por duas faces adjacentes.

Num poliedro de Platão, todas as faces apresentam o mesmo número de lados. Assim, num poliedro de Platão com faces de n lados, podemos dizer:

$\boxed{A = \dfrac{n\cdot F}{2}}$

Onde A é o número de arestas do poliedro. Veja que "a soma do número de lados de todas as faces do poliedro" é dada pelo produto n · F, já que, como dito anteriormente, todas as faces são polígonos de n lados.

Então, usando que F = 12 e que as faces são pentagonais, isto é, n = 5:

$A = \dfrac{n\cdot F}{2}\\\\ A = \dfrac{5\cdot 12}{2}=\dfrac{60}{2}\\\\ \boxed{\boxed{A = 30~\text{arestas}}}$

Pela Relação de Euler (considerando que V é o número de vértices):

$V+F = A+2\\\\ V+12 = 30+2\\\\ V+12 = 32\\\\ \boxed{\boxed{V=20~\text{v\'ertices}}}$

Portanto, o poliedro dado apresenta 30 arestas e 20 vértices.

Answer 2

As faces são pentagonais (polígono com mesmo número de lados ou cinco lados iguais).
Sendo assim, podemos achar as arestas através da relação:
A = (n. F) / 2
A = (5. 12)/2
A = 60/2
A = 30 (número de arestas)
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Pela Relação de Euler, achamos os vértices:
V  - A + F = 2
V - 30 + 12 = 2
V = 2 + 30 - 12
V = 20 vértices
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Resposta:
30 arestas e 20 vértices