Question

Um poliedro convexo tem somente faces octogonais e quadrangulares e a soma total dos ângulos internos de suas faces é 7920 graus. Obtenha o número de faces de cada tipo sabendo que o número de arestas o período de vértices em 8 unidades.

Resposta: 6 faces octagonais e 4 faces quadrangulares.

Answer 1

Vamos por partes...

1) Número de vértices. Usando a relação da soma dos ângulos das faces:

S = (V - 2).360º
7920º = (V - 2).360º
V - 2 = 7920º/360º
V - 2 = 22
V = 24 vértices

2) Como o número de arestas supera em oito o número de vértices, então:

A = V + 8
A = 24 + 8
A = 32 arestas

3) Fórmula de Euler:

V + F = A + 2
24 + F = 32 + 2
F = 34 - 24
F = 10 faces

4) Aplique a fórmula: 2A = 8f₈ + 4f₄, onde f₈ é o número de faces octogonais e f₄ é o número de faces quadrangulares.

2A = 8f₈ + 4f₄
2.32 = 8f₈ + 4f₄
8f₈ + 4f₄ = 64
2f₈ + f₄ = 16

5) Sabendo que f₈ + f₄ = 10, então para encontrar f₄ e f₈ fica:

2f₈ + f₄ = 16 (i)
f₈ + f₄ = 10 ⇒ f₄ = 10 - f₈ (ii)

Aplicando a equação (ii) em (i):

2f₈ + 10 - f₈ = 16
f₈ = 6 faces octogonais

f₄ = 10 - f₈
f₄ = 10 - 6
f₄ = 4 faces quadrangulares

Qualquer dúvida me chame. Abraços!