um poliedro convexo tem 15 faces. De Dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro outros partem 4 arestas e dos restantes partem 3 arestas. O Número de arestas do poliedro é?
Soluções para a tarefa
Seja x o restantes de vértices.
2A = 2.5 + 4.4 + x.3 => A = (26 + 3x)/2
V = 2 + 4 + x = 6 + x
F + V = A + 2
15 + 6 + x = (26 + 3x)/2 + 2
21 + x = (26 + 3x)/2 + 2
42 + 2x = 26 + 3x + 4
2x - 3x = 30 - 42
-x = -12
x = 12
Logo, A = ( 26 +3.12)/2
A = 62/2
A = 31 arestas
O Número de arestas do poliedro é 31.
x = número de vértices restantes
"De dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro outros partem 4 arestas e dos restantes partem 3 arestas."
Então, o número de arestas é:
2·5 + 4·4 + x·3 = 10 + 16 + 3x = 26 + 3x
Porém, duas faces consecutivas têm uma aresta em comum. Então, temos que dividir essa quantidade por 2.
A = 26 + 3x
2
O número de vértices é:
V = 2 + 4 + x =
V = 6 + x
Na relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
Substituindo, temos:
15 + (6 + x) = (26 + 3x) + 2
2
21 + x = (26 + 3x) + 2
2
Multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar a fração.
42 + 2x = 26 + 3x + 4
42 + 2x = 30 + 3x
2x - 3x = 30 - 42
- x = - 12
x = 12
Por fim, podemos calcular o número exato de arestas.
A = (26 + 3.12)
2
A = 26 + 36
2
A = 62
2
A = 31
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