Matemática, perguntado por loinesoares, 1 ano atrás

Um poliedro convexo regular tem o número de vértices igual à quinta parte do número de diagonais. Então, a soma dos ângulos internos das faces desse poliedro é igual a:

A
8 retos.

B
16 retos.

C
24 retos.

D
40 retos.

E
72 retos.

Usuário anônimo: Conhecendo apenas as informações do enunciado (número de diagonais igual ao quíntuplo do número de vértices e a regularidade do poliedro),fui capaz de identificar que se trata de um dodecaedro regular.Como eu disse,não foi difícil encontrar o tal poliedro,pois a questão informa que o mesmo (inicialmente incógnito) é regular (informação crucial).Eu não utilizei alternativa alguma para encontrar o resultado final,apenas as informações explícitas me foram suficientes.

Usuário anônimo: Se o poliedro é regular,então ele é um dos cinco poliedros que listei acima.

adjemir: Bem isso eu sei. Mas eu pergunto é se as alternativas de respostas não tivessem sido dadas e as informações fossem (como realmente são) as que estão dadas, você teria como "compor" uma lei de formação capaz de descobrir que poliedro era esse? Este foi o motivo pelo qual eu pedi outras informações, entendeu?

Usuário anônimo: Eu entendi o porquê de você ter dito que as informações não eram suficientes para solucionar o exercício,porque eu também achei o mesmo assim que li o problema.Quando me deparei com o problema proposto,achei que as informações fornecidas não eram suficientes para solucioná-lo,porém eu li novamente e percebi que com o que me foi fornecido era possível sim construir uma solução.

adjemir: Mas você chegou a essa conclusão apenas quando leu as alternativas não foi? E se nenhuma alternativa tivesse sido dada, você seria capaz de "compor" uma lei de formação para descobrir qual é o poliedro cujo número de vértices é 1/5 do número de diagonais. Entendeu?

adjemir: Veja: seria facílimo se a informação fosse assim: o número de lados é igual a 1/5 do número de diagonais. Aí seria uma beleza. Mas a informação foi o número de vértices. Aí fica mais difícil. Eu não digo que seja impossível, mas confesso que eu não seria capaz de "descobrir" o poliedro apenas com as informações dadas (o número de vértices é igual a 1/5 do número de diagonais). Entendeu?

Usuário anônimo: Sabendo que se trata de um poliedro regular,podemos inspecionar os cinco tipos existentes e encontrar o mais condizente com as informações explícitas no enunciado (número de diagonais igual ao quíntuplo da quantidade de vértices).

Usuário anônimo: Apenas lendo o enunciado da questão,eu descobri qual era o poliedro regular em questão (dodecaedro regular).Por conhecer o dodecaedro regular,eu sei que ele é formado por 12 faces pentagonais regulares; com isso obtive a resposta final (72 ângulos retos) e sem usar nenhuma das alternativas fornecidas.

Usuário anônimo: Bom,é isso Adjemir.Abraçosss!!

adjemir: Luana, ainda dá pra você colocar a sua resposta. Veja que já houve uma resposta dada pelo usuário "número 20 - universitário". E ainda cabe uma resposta. Aproveite e dê a sua resposta, pois com isso você está dando mais uma colaboração para que todos conheçam a matéria sobre poliedros regulares, ok?

Soluções para a tarefa

Respondido por numero20

Por se tratar de um poliedro convexo regular, temos cinco opções diferentes: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Cada um deles possui o seguinte número de vértices, arestas e faces:

Tetraedro: V = 4; A = 6; F = 4 (triangulares)

Hexaedro: V = 8; A = 12; F = 6 (quadrangulares)

Octaedro: V = 6; A = 12; F = 8 (triangulares)

Dodecaedro: V = 20; A = 30; F = 12 (pentagonais)

Icosaedro: V = 12; A = 30; F = 20 (triangulares)

Agora, vamos calcular o número de diagonais de cada poliedro e ver em qual deles se confirma que "o número de vértices é igual à quinta parte do número de diagonais". Para isso, vamos utilizar a seguinte equação:

D = [V × (V - 1) ÷ 2] - A - d × F

onde D é o número de diagonais, V é o número de vértices, A é o número de arestas, d é o número de diagonais em cada face e F é o número de faces. Lembrando também que faces triangulares não possuem diagonais, faces quadrangulares possuem 2 diagonais e faces pentagonais possuem 5 diagonais.

Tetraedro: D = [4 × (4 - 1) ÷ 2] - 6 - 0 × 4 = 0

Hexaedro: D = [8 × (8 - 1) ÷ 2] - 12 - 2 × 6 = 4

Octaedro: D = [6 × (6 - 1) ÷ 2] - 12 - 0 × 8 = 3

Dodecaedro: D = [20 × (20 - 1) ÷ 2] - 30 - 5 × 12 = 100

Icosaedro: D = [12 × (12 - 1) ÷ 2] - 30 - 0 × 20 = 36

Logo, o poliedro em questão é o dodecaedro, que possui 20 vértices e 100 diagonais (100÷5 = 20). Agora, vamos calcular a soma dos ângulos internos. Cada face pentagonal possui cinco ângulos, sendo cada um deles igual a 108º. Então, vamos multiplicar esse valor por 5, para determinar o valor total de cada face, e depois por 12, que é o número total de faces.

º = 5 × 12 × 108 = 6480º

Por fim, dividimos esse valor por 90º, para saber quantos ângulos retos esse valor formaria:

6480º ÷ 90º = 72

Portanto, o ângulo total corresponde a 72 ângulos retos.

Alternativa correta: E.

Usuário anônimo: Exatamente.

adjemir: Bela resposta. parabéns. A Luana devia ter colocado a resposta dela (ou ainda deve colocar) porque ainda há espaço pra isso, pois ela foi a primeira a informar que seria possível encontrar qual seria o poliedro incógnito. Então, Luana, coloque a sua resposta também, ok?

Usuário anônimo: Uso a resposta acima como sendo a minha,porque ele fez exatamente o que eu descrevi nos comentários.

Usuário anônimo: E com isso evitarei supostas redundâncias.

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