Question

Um poliedro convexo possui 6 faces triangulares 2 pentagonais 2 hexagonais e 1 quadrangular. Quantos vértices tem esse poliedro ?

Answer 1

Tem-se que um poliedro convexo possui 4 faces pentagonais, 6 faces triangulars e 5 faces quadrnagulares. Pede-se o número de vértices. 

Antes veja que a igualdade de Euler é dada por: 

V + F = A + 2 

Na fórmula acima, "V" é o número de vértices, "F" é o número de faces e "A" é o número de arestas. 

Assim, já temos que o poliedro convexo possui o seguinte número de faces: 4 + 6 + 5 = 15 faces. 
Então,na igualdade de Euler acima, já podemos fazer assim: 

V + 15 = A + 2. 

Agora vamos ver qual é o número de arestas. Veja que o número de arestas é igual a 2 vezes o número de faces contadas 5 vezes (para as faces pentagonais), 3 vezes (para as faces triangulares) e 4 vezes (para as faces quadrangulares). 
Assim, como são 4 faces pentagonais, então 4*5 = 20 
Como são 6 faces tirangulares, então 6*3 = 18 
E como são 5 faces quadrangulares, então 5*4 = 20. 
Então a soma das faces assim concebidas é igual ao dobro do número de arestas. Logo: 

2A = 20 + 18 + 20 
2A = 58 
A = 58/2 
A = 29 <----Esse vai ser o número de arestas. 

Agora, vamos lá para a igualdade (I) e, nela, vamos substituir "A" por 29. 
A igualdade (I) é esta: 

V + 15 = A + 2 ----substituindo "A" por 29, temos: 
V + 15 = 29 + 2 
V + 15 = 31 
V = 31 - 15 
V = 16 <---Pronto. Essa é a resposta. Esse é o número de vértices pedido.