Question

um poliedro convexo possui 12 faces e a quantidade de arestas é igual ao triplo da quantidade de vértices. Qual a quantidade de vértices e arestas respectivamente, desse poliedro? 
6 e 18
3 e 9
5 e 15
8 e 24
7 e 21 ​

Answer 1

Resposta: 5 e 15

Explicação passo a passo:

Fórmula de EULER

V + F = A + 2

V = nº de vértices;

F = nº de faces

A = nº de arestas

Dados da questão:

F = 12

A = 3V (nº de arestas é o triplo do nº de vértices)

Substituindo,

V + 12 = 3V + 2

3V - V = 12 - 2

2V = !0 => v = 10/2 => V = 5

A = 3v => A = 3(5) = 15

Answer 2

Resposta: 5 e 15

Explicação passo a passo: Para resolver esse problema, vamos utilizar a chamada Relação de Euler. Com ela, é possível afirmar que:

$V - A + F = 2\\V + F = A + 2$

Ou seja, o número de vértices de um poliedro convexo, quando somado com o número de faces desse mesmo polígono, resulta no número de arestas desse polígono mais dois.

Pelo nosso enunciado, nosso poliedro possui a quantidade de arestas sendo igual ao triplo do número de vértices. Ou seja, matematicamente, temos que:

$A = 3V$

Por isso, vamos substituir isso na nossa Relação de Euler para descobrir os dados desse poliedro, sabendo que o número de faces do nosso poliedro é 12. Fazendo as substituições necessárias:

$V + 12 = 3V + 2\\10 = 2V\\V = 5$

Já temos a quantidade de vértices! Substituindo na relação dada no enunciado, sabemos então que:

$A = 3 * 5\\A = 15$

Portanto, a quantidade de vértices e arestas, respectivamente, desse poliedro são 5 e 15. Espero ter ajudado!