Question

um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces triangulares. o número de arestas deste poliedro é:

Answer 1

Solução

Vamos denotar por F o número de faces e A o número de arestas. Como este poliedro tem apenas faces triangulares, temos

2 A = 3 F

(isto ´e, cada face contabiliza 3 arestas, sendo que, cada aresta ´e contada duas vezes, uma para cada face em que está contida).

Com isso,

A =

3

2

F.

Pelo Teorema de Euler, temos

32 − A + F = 2,

logo

32 −

3

2

F + F = 2

e, então,

−

F

2

= −30,

implicando F = 60.

Com isso, temos

A =

3

2

· 60 = 90.

Answer 2

Sabendo que para calcular o número de arestas multiplicamos a quantia de faces pela de arestas da forma geométrica (neste caso o triângulo), e dividimos por dois para que não sejam contadas as arestas em comum entre uma face e outra. Temos que:

A=3F÷2

Segundo o Teorema de Euler temos que: V+F = A+2

Aplicando as informações que temos até agora:

32 +F = 3F÷2 +2

32 -2 = 3F÷2 -F

30 = F÷2

F = 60

De volta ao que concluímos antes

A= 3F÷2

Substituindo o número de Faces pelo que acabamos de descobrir

A= 3×60÷2

A= 90

Então temos 90 Arestas no poliedro.