Question

um plano intercepta uma esfera determinando uma seção de área 36 pi cm2 sabendo que a área da superfície dessa esfera é 400 pi cm2 determine a a distância do do centro do centro da esfera ao plano

Answer 1

Resposta:

8,2 cm

Explicação passo-a-passo:

Pela descrição, trata-se de uma calota esférica.

Primeiro precisamos achar o raio da esfera.

A área da superfície da esfera é dada por:

$A(SE)=4\times \pi \times r^2$

Esse valor foi informado como sendo de $400\: \pi \: cm^2$ , então o substituímos na fórmula para encontrar o raio.

$A(SE)=4\times \pi \times r^2\\400\pi = 4\times \pi \times r^2\\400 = 4 \times \pi \times r^2 \div \pi \\400 = 4r^2 \\400 \div 4 = r^2\\100=r^2\\\sqrt{100}=r\\10=r$

O raio da esfera (r) mede 10 cm.

Agora precisamos achar a altura da calota. Essa altura (h) é a distância do plano à superfície da calota/esfera.

A área da calota esférica é dada por:

$A(CE) =2\times \pi \times r \times h$

Já temos a medida do raio (r) e a área da superfície da calota foi informada como sendo de $36\: \pi \: cm^2$ , então o substituímos na fórmula para encontrar a altura (h).

$A(CE) =2\times \pi \times r \times h\\36 \pi =2\times \pi \times 10 \times h\\36 =2\times \pi \times 10 \times h \div \pi\\36=2 \times 10 \times h\\36=20h\\36\div20=h\\1,8=h$

A altura da calota (h) mede 1,8 cm.

Como o raio é a distância do centro da esfera à sua superfície e como a altura da calota é a distância do plano à mesma superfície, para achar a distância do plano ao centro da esfera precisamos subtrair a altura da calota (h) do raio (r). Veja:

$d=r-h\\d=10-1,8\\d=8,2$

A distância do centro da esfera ao plano é de 8,2 cm.