Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em semanas, conclui-se que o tamanho da população é dado por f(t) = -10t² + 20t + 100. a) Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce. b) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? c) Entre que semanas a população de insetos seria exterminada?
Soluções para a tarefa
a) A população cresce durante 1 semana.
b) A população de insetos é igual à população inicial no final da 2ª semana.
c) A população de insetos seria exterminada entre a 4ª e 5ª semana.
Explicação:
O tamanho da população de insetos é dada por uma função do 2° grau.
f(t) = - 10t² + 20t + 100
Os coeficientes são:
a = - 10, b = 20, c = 100
a) A população de insetos ainda cresce até atingir o vértice da parábola.
Como queremos saber o valor do tempo, utilizamos a fórmula do Xv ou Tv.
Tv = - b
2a
Tv = - 20
2.(-10)
Tv = - 20
- 20
Tv = 1
Então, a população cresce durante 1 semana.
b) A população inicial ocorre quando t = 0. Substituindo na função, temos:
f(0) = - 10.0² + 20.0 + 100
f(0) = - 0 + 0 + 100
f(0) = 100
Então, a população inicial é 100.
- 10t² + 20t + 100 = 100
- 10t² + 20t = 0
Resolvendo a equação, temos:
t' = 0
t'' = 2
Então, população de insetos é igual à população inicial quando t = 2, ou seja, no final da 2ª semana.
c) A população seria exterminada quando f(t) = 0. Logo:
- 10t² + 20t + 100 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = 20² - 4.(-10).100
Δ = 400 + 4000
Δ = 4400
t = - b ± √Δ
2a
t = - 20 ± √4400
2.(-10)
t = - 20 ± 20√11
- 20
t = 1 ± √11
t' = 1 + 3,31 = 4,31
t'' = 1 - 3,31 = - 2,31 (não convém)
Então, a população de insetos seria exterminada entre a 4ª e 5ª semana.