Question

Um pesquisador constata que, em um dado instante, existem 400 tartarugas da especie A e 200 tartarugas da especie B em uma reserva marinha. Nessa reserva, a população de tartarugas da especie A diminui a uma taxa de 20% ao ano, enquanto a população da especie B aumenta a uma taxa de 10% tbm ao ano.
Determine, usando duas casas decimais, quanto tempo é encessario, a partir desses instante, para que as populações sejam iguais.(considere:log11=1,04 e log2=0,30)????

Answer 1

"a população de tartarugas da especie A diminui a uma taxa de 20% ao ano".

Esta informação nos permite escrever a seguinte equação:

$Populacao_{final}=Populacao_{inicial}.(1-Taxa)^{periodo}\\\\Populacao_{final}=400.(1-\frac{20}{100})^{periodo}\\\\Populacao_{final}=400.(\frac{8}{10})^{periodo}$

"enquanto a população da especie B aumenta a uma taxa de 10% tbm ao ano"

Esta informação nos permite escrever a seguinte equação:

$Populacao_{final}=Populacao_{inicial}.(1+Taxa)^{periodo}\\\\Populacao_{final}=200.(1+\frac{10}{100})^{periodo}\\\\Populacao_{final}=200.(\frac{110}{100})^{periodo}\\\\Populacao_{final}=200.(\frac{11}{10})^{periodo}$

Como queremos que as populações sejam iguais, logo podemos igualar as duas equações achadas e determinar o Periodo onde essa igualdade acontece:

Obs.: Parece muita conta, mas é só pq foi feita passo-a-passo. Tente seguir juntamente com papel e caneta para melhor compreensão!

$400.(\frac{8}{10})^{periodo}=200.(\frac{11}{10})^{periodo}\\\\Aplicando\;\log\;nos\;dois\;lados\;da\;equacao:\\\\\log\left(400.(\frac{8}{10})^{periodo}\right)=\log\left(200.(\frac{11}{10})^{periodo}\\\right)\\\\Aplicando\;a\;propriedade\;de\;log:\;log\,(a.b)=log\,a+log\,b\\\\\log400+\log\left((\frac{8}{10})^{periodo}\right)=\log200+\log\left((\frac{11}{10})^{periodo}\right)\\\\Aplicando\;a\;propriedade\;de\;log:\;log\,a^b=b.log\,a$

$log400+(periodo).\log\left(\frac{8}{10}\right)=log200+(periodo).\log\left(\frac{11}{10}\right)\\\\Aplicando\;a\;propriedade\;de\;log:\;log\,\frac{a}{b}=log\,a-log\,b\\\\log400+(periodo).(log8-log10)=log200+(periodo).(log11-log10)\\\\log(2^2\,.\,10^2)+(periodo).(log2^3-log10)=log(2\,.\,10^2)+(periodo).(log11-log10)\\\\(2log2+2log10)+(periodo).(3.log2-log10)=(log2+2log10)+(periodo).(log11-log10)\\\\(2.0,30+2\,.\,1)+(periodo).(3.0,30-1)=(0,30+2\,.\,1)+(periodo).(1,04-1)$

$(2.0,30+2\,.\,1)+(periodo).(3.0,30-1)=(0,30+2\,.\,1)+(periodo).(1,04-1)\\\\(2,6)+(periodo).(-0,1)=(2,30)+(periodo).(0,04)\\\\0,14.Periodo=2,6-2,30\\\\Periodo=\frac{0,30}{0,14}\\\\Periodo = \frac{15}{7} \approx 2,14\,anos$