Question

Um pentadecaedro convexo de 22 vértices é constituído por 4 faces triangulares; suas demais faces são pentagonais ou hexagonais. Quantas faces pentagonais possui esse poliedro?

Answer 1

Sejam A o número de arestas do poliedro, V o seu número de vértices e F o seu número de faces. Pelo enunciado, já sabemos que V = 22. Além disso, como se trata de um pentadecaedro, temos que F = 15. Pela Relação de Euler:

$V+F = A+2\\\\ 22+15 = A+2\\\\ 37=A+2\\\\ A = 37-2\\\\ A = 35$

Por outro lado, podemos calcular A utilizando o fato de que o total de arestas do poliedro é igual à metade da soma da quantidade de arestas de cada face. Isso se dá, pois cada aresta é compartilhada por duas faces adjacentes.

Desse modo, se $F_n$ é o número de faces do poliedro que apresentam n lados, podemos escrever:

$A = \dfrac{1}{2}(3\cdot F_3+5\cdot F_5+6\cdot F_6)$,

pois o poliedro dado apresenta apenas faces com 3, 5 ou 6 lados.

Sabemos que F₃ = 4. Então:

$A = \dfrac{1}{2}(3\cdot F_3+5\cdot F_5+6\cdot F_6)\\\\ 35 = \dfrac{1}{2}(3\cdot4+5\cdot F_5+6\cdot F_6)\\\\ 70 = 12+5F_5+6F_6\\\\ 5F_5+6F_6=58~~~(i)$

Além disso, como F = 15, temos:

$F_3+F_5+F_6=F\\\\ 4+F_5+F_6=15\\\\ F_5+F_6=11~~~(ii)$

Caímos num sistema de 2 equações e 2 incógnitas. Fazendo (i) - 5(ii):

$-\begin{cases}5F_5+6F_6=58\\5F_5+5F_6=55\end{cases}\\\\ ---------\\\\ \Longrightarrow \boxed{F_6 = 3}$

Substituindo o valor obtido para F₆ em (ii):

$F_5+F_6=11\\\\ F_5+3=11\\\\ \Longrightarrow \boxed{F_5=8}$

Portanto, o poliedro apresenta 8 faces pentagonais.

Answer 2

Resposta:

8 faces pentagonais

Explicação passo a passo:

Dados:

F = 15 (pentadecaedro)

V = 22 (vértices)

F3 = 4 (4 faces triangulares)

F5 = x (x faces pentagonais)

F6 = y (y faces hexagonais)

I. V + F = A + 2 ⇒ 22 + 15 = A + 2 ⇒ 37 – 2 = A ⇒ A = 35

II. F3 + F5 + F6 = F ⇒ 4 + x + y = 15 ⇒ x + y = 11

III. 2A = 3F3 + 5F5 + 6F6 ⇒ 2 · 35 = 3 · 4 + 5x + 6y ⇒ 70 – 12 = 5x + 6y ⇒ 5x + 6y = 58

Resolvendo:

5x + 6y = 58

x + y = 11

encontra-se x = 8 e y = 3.

existem 8 faces pentagonais