Question

Um pêndulo simples, de comprimento L, tem um período de oscilação T, num determinado local. Para que o período de oscilação passe a valer T/2, no mesmo local, o comprimento do pêndulo deve ser variado em quanto? Qual a nova frequência?

Answer 1

O comprimeto do fio e a nova frequência é:

                                       $\Large\displaystyle\begin{aligned}\frac{T}{2}\Rightarrow \frac{L}{4}\qquad f = 2\cdot \frac{1}{T}\end{aligned}$

Num movimento harmônico simples temos que o período e a frequência é dado por:

                                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \qquad f = \frac{1}{T}\end{aligned} }$

Portanto, se nosso período é:

                                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \end{aligned} }$

Para que o novo período seja T/2, temos que dividir os dois lados por 2:

                                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\frac{T}{2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}{2}\\ \\ \end{aligned} }$

Então simplificando e jogando o 2 para dentro da raiz temos:

                                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\frac{T}{2} &= \frac{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}{2}\\ \\ \frac{T}{2} &= 2\pi \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{L}{g}}\\ \\ \frac{T}{2} &= 2\pi \sqrt{\frac{1}{4}\frac{L}{g}}\\ \\ \frac{T}{2} &= 2\pi \sqrt{\frac{L}{4g}}\\ \\ \end{aligned} }$

Portanto no novo comprimento deve ser:

                                          $\Large\displaystyle\begin{aligned}\frac{T}{2} \Rightarrow \frac{L}{4}\end{aligned}$

Como a frequência é definida como:

                                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}f = \frac{1}{T}\end{aligned}$

Se temos metade do período:

                                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}f = \frac{1}{\frac{T}{2}} \Rightarrow 2\cdot \frac{1}{T}\end{aligned} }$

Ou seja, o dobro da frequência anterior.

Espero ter ajudado

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