Question

Um paraquedista salta de um avião e em t=0 abre seu paraquedas. Com que velocidade ele chegará ao solo?

Answer 1

A solução para essa pergunta é $\boxed{\boxed{\sf V=\frac{g}{a}( 1-e ^{-at}) + v_0 e^{-at} }}$

Resolução

Para velocidades relativamente baixas, podemos considerar que a força de resistência exercida pelo ar é proporcional á velocidade da queda.  Para isso vamos chamar a constante de proporcionalidade de K e a massa do paraquedista de M.

Duas forças opostas estarão agindo sobre o paraquedista: seu peso Mg( onde g é a aceleração da gravidade, cerca de $\sf 9,8 M/s^2$) e a resistência do ar kv (onde  $\sf V=v(t)$ é a velocidade de queda no ponto t). A força resultante na direção do movimento é $\sf F=mg-kv$, onde o sinal de menos indica que a força de resistência age em uma direção oposta á direção do movimento.  

A segunda lei de Newton(Lei de movimento) diz que $\sf F=ma, ~onde ~a =\dfrac{dv}{dt}$ é a aceleração ou taxa de variação da velocidade do tempo, Então vamos ter a seguinte equação:

• $\sf m\dfrac{dv}{dt}=mg-kv~(I)$

A equação 1 é a equação de movimento da questão, ela é uma equação diferencial linear tendo $\sf V=v(t)$ como a função desconhecida, para resolve-la precisamos simplificar ela dividindo ela por m:

• $\sf \displaystyle \frac{dv}{dt} =g-av (a=\frac{k}{m})~ (II)$

Se considerarmos a expressão $\sf \dfrac{dv}{dt}$ como proporção entre duas diferenciais, podemos reescrever a equação 2 de modo que as duas variáveis, v e t, fiquem separadas em cada lado da equação.

• $\sf \displaystyle \frac{dv}{g-av} = dt ~(III)$

Agora integramos cada lado da equação 3 ou seja, temos que encontrar sua antiderivada.

• $\sf \displaystyle - \frac{1}{a} In(g-av)=t+c~ (IIII)$

Na equação 4 encontramos $\sf - \dfrac{1}{a} In(g-av_0)=0+c=c$. Colocando este valor de volta na equação 4, teremos:

• $\sf \displaystyle - \frac{1}{a} [In(g-av)-1n(g-av_0)]=t~(IV)$

Pela regra dos logaritmos temos que $\sf In~x-In~y=In \dfrac{x}{y}$ de modo que podemos escrever a última equação como:

• $\sf \displaystyle \sf In \left[\frac{g-av}{g-av_0} \right]=-at~ (V)$

Finalmente resolvemos a última equação para v  em relação a t:

$\boxed{\boxed{\sf V=\frac{g}{a}( 1-e ^{-at}) + v_0 e^{-at} }}$ ∴

Conclusão

Se o paraquedista abrir seu paraquedas imediatamente após saltar do avião, teremos $\sf V_0=v$, de modo que o último termo da equação 6 será eliminado, Mas se ele cair livremente, antes de abrir o paraquedas, o efeito da velocidade inicial $\sf V_0=v$ vai diminuir exponencialmente conforme o tempo avançar.