Question

Um paralelepípedo reto-retângulo tem a base com medidas
a e b e a altura tem medida c. Se aumentarmos a altura em 1m, o
volume aumenta 20m^3 e a área total aumenta 18m^2. Se o
paralelepípedo originalmente tinha uma área lateral de 54m^2, o
volume do paralelepípedo original era igual a
A) 80m^3 B) 94m^3 C) 112m^3 D) 70m^3 E) 60m^3

Um triângulo equilátero tem lado igual a 8cm. Inscrevese
um retângulo nesse triângulo de maneira que o maior lado
do retângulo fique sobre um lado do triângulo. Nessas
condições, se esse retângulo tem a maior área possível, essa
área é igual a
A) 2√3 cm^2 B) 4√3 cm^2 C) 8√5 cm^2 D) 8√3 cm^2 E) 16√3cm

a circunferência está no primeiro quadrante do
plano cartesiano e tangencia os dois eixos coordenados. Um
ponto P desta circunferência tem uma distância de 18
unidades de comprimento de um dos eixos e uma distância
de 4 unidades de comprimento do outro eixo. Um possível
valor para o raio desta circunferência, em unidades de
comprimento, é
A) 24 B) 28 C) 22 D) 34

Answer 1

- Questão 1:

Sendo a e b os lados da base e c a altura do paralelepípedo, temos:

Volume = V = a.b.c (é o que queremos saber)
Área lateral = soma das áreas dos quatro retângulos laterais = 2.b.c + 2.a.c = 54 m²   (i)
Área total = área lateral + áreas das faces superior e inferior = A = 2.b.c + 2.a.c + 2.a.b

Se aumentarmos a altura em 1 m, o volume aumenta em 20 m³ e a área total aumenta em 18 m²:

V + 20 = a.b.(c + 1)
V + 20 = a.b.c + a.b
V + 20 = V + a.b
a.b = 20   (ii) 

A + 18 = 2.b.(c + 1) + 2.a.(c + 1) + 2.a.b
A + 18 = 2.b.c + 2.b + 2.a.c + 2.a + 2.a.b
A + 18 = 2.(a + b) + 2.b.c + 2.a.c + 2.a.b
A + 18 = 2.(a + b) + A
a + b = 9  (iii)

Isolando c em (i):
2.b.c + 2.a.c = 54
c = 27/(a + b)

Queremos V. Substituindo (ii) e (iii) em V, temos:
V = a.b.c
V = 20.27/9
V = 60 m³

Alternativa E.


- Questão 2:

Denominemos x o lado do retângulo que é paralelo à base do triângulo equilátero e y o lado lateral do retângulo. Um dos lados x está sobre um dos lados do triângulo. O outro lado x, no interior do triângulo, divide-o formando com um dos seus vértices um outro triângulo equilátero menor, cujo lado é x. Os lados y delimitam triângulos retângulos com os vértices restantes cujas hipotenusas medem (8 - x).
Consideremos agora dois triângulos retângulos: um deles é o supracitado, com cateto y e hipotenusa (8 - x); outro formado pela altura do triângulo equilátero menor (cateto = x√3/2) e hipotenusa x. 
Temos então, por semelhança de triângulos:
x/(8 - x) = (x√3/2)/y
1/(8 - x) = √3/2y
2y = √3.(8 - x)
y = √3.(8 - x)/2

Queremos que a área do retângulo seja máxima. :
A = x.y = x.√3.(8 - x)/2
A = (8√3.x - √3.x²)/2
A = - (√3/2).x² + 4√3.x

A função da área é uma parábola com a < 0 e, portanto, com ponto de máximo. Queremos saber a área máxima possível. Matematicamente, é o mesmo que saber o valor da coordenada y do vértice.

Amáx = yv = - Δ/4a
Amáx = - (b² - 4.a.c)/4a
Amáx = - [(4√3)² - 4.(- √3/2).0]/4.(- √3/2)
Amáx = - 16.3/(- 2√3)
Amáx = 24/√3
Amáx = 24√3/3
Amáx = 8√3 cm²

Alternativa D.


- Questão 3:

Temos uma circunferência no primeiro quadrante tangenciando os eixos das coordenadas. Consideremos R o raio desta circunferência e P um ponto da circunferência com coordenadas 4 e 18. Ligando o ponto P com segmentos de reta até o centro da circunferência e até os raios paralelos aos eixos das coordenadas, formamos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o próprio raio R e cujos catetos são formados pela diferença entre as coordenadas de P e a medida de um raio: (R - 4) e (R - 18).
Por Pitágoras:

R² = (R - 4)² + (R - 18)²
R² = R² - 8.R + 16 + R² - 36.R + 324
R² - 44.R + 340 = 0
Δ = (- 44)² - 4.1.340
Δ = 1936 - 1360
Δ = 576
R1 = [- (- 44) + √576]/2 = 34
R2 = [- (- 44) - √576]/2 = 10

Temos então dois valores possíveis para R: 10 ou 34. 

Alternativa D.