Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em progressão aritmética, eles valem???
Soluções para a tarefa
Se as arestas estão em PA, imaginemos que r seja a razão.
Então podemos escrever o valor destas arestas como: x-r, x, x+r
Como existem 4 arestas de cada medida, e a sua soma é 60, podemos escrever:
4(x-r)+4x+4(x+r)=60
Desenvolvendo:
4x-4r+4x+4x+4r=60
Cancelamos os termos 4r e -4r e sobram
12x=60, de onde temos x=5 (esta é a medida da aresta intermediária.
Agora vamos calcular a soma das 6 faces. Elas são iguais duas a duas, então podemos escrever:
2x(x-r)+2x(x+r)+2(x-r)(x+r)=142
Mas x=5, já sabemos, então a expressão anterior fica:
10(5-r)+10(5+r)+2.(25-r^2)=142
Desenvolvendo e simplificando chegamos a:
150-2r^2=142
2r^2=150-142
2r^2=8
r^2=4
r=2
Então a medida das arestas do sólido são 3, 5 e 7
Os lados do paralelepípedo medem 3 cm, 5 cm e 7 cm.
Sabemos que as dimensões do paralelepípedo formam uma progressão aritmética, sendo r a razão dessa progressão, temos que:
x - r, x, x + r
Um paralelepípedo é constituído de seis faces de áreas iguais duas a duas, se suas dimensões são x - r, x e x + r, temos que a soma das áreas é:
At = 2x(x-r) + 2(x-r)(x+r) + 2x(x+r)
142 = 2(x(x-r) + (x-r)(x+r) + x(x+r))
142 = 2(x² - xr + x² - r² + x² + xr)
142 = 2(3x²- r²)
A soma das arestas vale 60, ou seja:
60 = 4(x-r) + 4x + 4(x+r)
60 = 4(x - r + x + x + r)
15 = 3x
x = 5 cm
Substituindo na equação da área:
142 = 2(3x²- r²)
71 = 3.5² - r²
r² = 75 - 71
r² = 4
r = 2
Os lados do paralelepípedo são:
x - r = 3 cm
x = 5 cm
x + r = 7 cm
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