Question

Um paralelepípedo é determinado pelos pontos A(1 , 2 , 1); B(7 , 4 , 3); C(4 , 6 , 2) e D(3 , 3 , 3), conforme a figura. A medida do ângulo formado pelos vetores é aproximadamente: 34° 90° 60° 49° 25°

Answer 1

A medida do ângulo formado pelos vetores é, aproximadamente, 34º.

Vamos determinar os vetores AB, AC e AD.

Sendo A = (1,2,1), B = (7,4,3), C = (4,6,2) e D = (3,3,3), temos que:

AB = (7,4,3) - (1,2,1)

AB = (6,2,2)

AC = (4,6,2) - (1,2,1)

AC = (3,4,1)

AD = (3,3,3) - (1,2,1)

AD = (2,1,2).

Vamos calcular o ângulo formado pelos vetores AB e AC, AB e AD, AC e AD.

Para isso, é importante lembrarmos que o ângulo entre dois vetores é igual a $cos(\theta)=\frac{<u,v>}{||u||||v||}$.

Produto interno entre AB e AC:

<AB,AC> = 6.3 + 2.4 + 2.1

<AB,AC> = 18 + 8 + 2

<AB,AC> = 28.

Produto interno entre AB e AD:

<AB,AD> = 6.2 + 2.1 + 2.2

<AB,AD> = 12 + 2 + 4

<AB,AD> = 18.

Produto interno entre AC e AD:

<AC,AD> = 3.2 + 4.1 + 1.2

<AC,AD> = 6 + 4 + 2

<AC,AD> = 12.

Norma do vetor AB:

||AB||² = 6² + 2² + 2²

||AB||² = 36 + 4 + 4

||AB||² = 44

||AB|| = 2√11.

Norma do vetor AC:

||AC||² = 3² + 4² + 1²

||AC||² = 9 + 16 + 1

||AC||² = 26

||AC|| = √26.

Norma do vetor AD:

||AD||² = 2² + 1² + 2²

||AD||² = 4 + 1 + 4

||AD||² = 9

||AD|| = 3.

Ângulo entre AB e AC:

cos(θ) = 28/2√11.√26

θ ≈ 34,12º.

Ângulo entre AB e AD:

cos(θ) = 18/2√11.3

θ ≈ 25,24º.

Ângulo entre AC e AD:

cos(θ) = 12/√26.3

θ ≈ 38,33º.