Question

Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k=400N/m). Em certo instante t a posição (medida a partir de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x = 0,100m, v = -13,6m/s e a = -123m/s2. Calcule a frequência de oscilação, a massa do bloco e a amplitude do movimento (use somatório de forças igual a zero).

Answer 1

Resposta:

$f = 5{,}58\;\mathrm{Hz},\;\; m = 0{,}325\;\mathrm{kg},\;\;A = 0{,}400\;\mathrm{m}.$

Explicação:

Como se trata de um oscilador harmônico, então a equação de movimento é proveniente da aplicação da segunda lei de Newton, onde a força é a força restauradora que, pela lei de Hooke, tem módulo igual a $k\cdot x$

Assim, a eq. de movimento é:

$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0,$

proveniente de $k\cdot x = m\cdot a,$

sendo $a = \frac{d^2x}{dt^2}$ a aceleração (derivada segunda da posição) e $\omega$ a frequência angular do movimento.

A solução para esta equação diferencial de segunda ordem é:

$x(t) = A\cos{(\omega t + \phi)}$,

sendo A a amplitude do movimento, t o tempo e $\phi$ a constante de fase.

A primeira derivada fornece a velocidade:

$v(t) = -A\omega \mathrm{sen}(\omega t + \phi)}$

e a segunda derivada fornece a aceleração:

$a(t) = -A\omega^2 \cos{(\omega t + \phi)}$ (note que a aceleração não é constante!)

Das informações do problema:

$\begin{cases}A\cos{(\omega t +\phi) = 0{,}100\;\mathrm{m}\\-A\omega \mathrm{sen}(\omega t + \phi) = -13{,}6\;\mathrm{m/s}\\-A\omega^2\cos{(\omega t + \phi)} = -123\;\mathrm{m/s^2}\end{cases}$

que são a posição, velocidade e a aceleração, respectivamente.

Dividindo a terceira equação (aceleração) pela primeira (da posição), temos:

$\omega^2 = \frac{123}{0,100} \;\mathrm{rad/s} = 1230\;\mathrm{rad/s}\\\implies \omega = 35{,}1\;\mathrm{rad/s}.$

De posse da frequência angular, podemos calcular a frequência (= número de oscilações por tempo):

$f = \frac{\omega}{2\pi} = 5{,}58\;\mathrm{Hz}.$

A massa do bloco pode facilmente ser obtida de:

$\omega^2 = \frac{k}{m}\\1230 \;\mathrm{rad/s} = \frac{400\;\mathrm{N/m}}\\\implies m = 0{,}325\;\mathrm{kg}.$

Veja, este é um sistema em que a energia mecânica (=cinética + potencial) é conservada.

A energia potencial elástica é dada por $\frac{1}{2}kx^2$, enquanto que a energia cinética é dada por $\frac{1}{2}mv^2$, que são informações que nós temos do enunciado (posição e velocidade num certo tempo).

Não sabemos para qual tempo olhar, mas sabemos que em todos os instantes, enquanto o sistema perde energia potencial elástica, ele ganha energia cinética na mesma proporção.

Se você fizer os cálculos da soma da energia potencial mais cinética, obterá:

$\text{Energia total} = \frac{1}{2}kA^2$ (constante!)

ou ainda

$\frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kA^2,$

com A sendo a amplitude.

Veja também que A é a única incógnita desta equação da energia.

Deste modo, isolando A, resulta em:

$A = 0{,}400\;\mathrm{m}.$

Espero ter ajudado!