Question

Um operador linear T : R ao 2(Quadrado) R ao 2 é tal que T(1, 0) = (3, -2) e T(0, 1) = (1, 4). Determinar T(x, y).

Answer 1

Resposta:

$T:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^2\\(x,y) \longmapsto (3x + y,\;-2x + 4y)$

Explicação passo-a-passo:

$\text{Seja T o operador linear}\\\\T:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^2\\(x,y) \longmapsto (?)$

No caso queremos saber qual a lei que rege esse operador, para ser um operador, a lei de transformação só deve ter combinações lineares de x e y, portanto:

$T:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^2\\(x,y) \longmapsto ((\alpha x + \beta y),(\gamma x + \delta y))$

Então vamos montar nosso sistema:

$(1,0) \longmapsto ((\alpha \cdot 1 + \beta\cdot 0),(\gamma \cdot 1 + \delta\cdot 0))\\(1,0) \longmapsto (\alpha,\gamma) = (3, -2)\\\\(0,1) \longmapsto ((\alpha \cdot 0 + \beta\cdot 1),(\gamma \cdot 0 + \delta \cdot 1))\\(0,1) \longmapsto (\beta,\delta) = (1, 4)$

Portanto:

$\alpha = 3\\\beta = 1\\\gamma = -2\\\delta = 4$

Então a o opeador linear é:

$T:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^2\\(x,y) \longmapsto (3x + y,\;-2x + 4y)$

Se preferir:

$T(x,y) = (3x+y,\; -2x+4y)$

Qualquer dúvida respondo nos comentários