Question

Um ônibus de 40 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa exigiu de cada passageiro R$20,00 mais R$2,00 por lugar vago. Qual o número de
passageiros para que a rentabilidade da empresa seja máxima?

Answer 1

Montando a equação do enunciado:
$20x+2x(40-x)=0$
$20x+80x-2x^2=0 \\ \\ 100x-2x^2=0 \\ \\ 50x-x^2=0$

Está é uma equação quadrática, seu gráfico é uma parábola. O ganho máximo da empresa estará no vértice desta. Mais específicamente, na abscissa x do vértice.
Vértice=(m;K)
m=-b/2a
Logo,  $m= \frac{-50}{2.(-1)} ---\ \textgreater \ m=25$

25 pessoas

Answer 2

Resposta:

Se o ônibus fosse lotado, a receita da empresa seria 20 reais por pessoa, totalizando 800 reais. Para cada x lugares vagos, os 40-x passageiros pagam 20 + 2x reais pela passagem, por exemplo, se forem 39 passageiros e 1 lugar vago, cada um dos 39 pagaria 22 reais, caso forem 35 passageiros, eles pagariam além dos 20 reais, mais dois reais por lugar vago, totalizando 30 reais.

Sendo assim, a receita da empresa pode ser descrita pela expressão:

R(x) = (40-x)(20+2x)

R(x) = 800 + 80x - 20x - 2x²

R(x) = 800 + 60x - 2x²

O valor máximo dessa expressão se dá no seu vértice, cujas coordenadas são (-b/2a, -Δ/4a). Como queremos saber a quantidade de passageiros x que maximiza o lucro, temos que encontrar a coordenada x do vértice:

Xv = -b/2a

Xv = - 60/2*(-2)

Xv = 15 passageiros