Question

um observador vê um prédio mediante um angulo visual $\beta$ e afastando-se do prédio a uma distancia de 2 metros o observador vê o prédio de um angulo visual $\alpha$. dados $\alpha$ = 30° e tangente ($\beta$ )=4/5 determine a altura do prédio . use √ 3= 1,7

Answer 1

Veja a ilustração anexada à resposta para melhor compreensão da situação descrita no problema.

A altura do prédio que queremos determinar é $h$ (representada pelo segmento $CH$). A distância inicial do observador ao prédio é $d$ (segmento $BH$).

Vamos olhar inicialmente para o triângulo ACH:

$\tan(\alpha)=\dfrac{CH}{AH}\\\\ \tan(30^o)=\dfrac{h}{d+2}\\\\ \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{h}{d+2}\\\\ d+2=\dfrac{3h}{\sqrt3}=h\sqrt3\\\\ d=h\sqrt3-2~~~(i)$

Agora, vamos olhar para o triângulo BCH:

$\tan(\beta)=\dfrac{CH}{BH}\\\\ \dfrac{4}{5}=\dfrac{h}{d}\\\\ d=\dfrac{5}{4}h~~~(ii)$

Igualando os valor de $d$ obtidos em $(i)$ e $(ii)$:

$h\sqrt3-2=\dfrac{5}{4}h\\\\ 4\sqrt3h-8=5h\\\\ 4\sqrt3h-5h=8\\\\ (4\sqrt3-5)h=8\\\\ h=\dfrac{8}{4\sqrt3-5}$

Usando a aproximação dada de $\sqrt3\approx1,7$:

$h=\dfrac{8}{4\sqrt3-5}\\\\ h\approx\dfrac{8}{4\cdot1,7-5}\\\\ h\approx\dfrac{8}{6,8-5}\\\\ \boxed{h\approx4,44~m}$