Question

Um objeto percorre determinado trecho de estrada dividindo-o em duas partes de tamanhos (distâncias) iguais. Na primeira metade, mantem velocidade constante X e na segunda metade, velocidade constante Y.
Explique, com suas palavras, por que, se desejarmos determinar a velocidade média do objeto no trecho todo, não podemos fazer a média aritmética das velocidades constantes X e Y, ou seja, não podemos dizer que a velocidade média V = (X+Y)/2.

Answer 1

Observe que, por definição:

$velocidade(v)=\frac{distancia (d)}{tempo(t)}$

assim, podemos representar as velocidade X e Y como:

$V_x=\frac{d}{t_x}\\V_y=\frac{d}{t_y}$

note que $d$ é a distância percorrida por x e por y, pois percorreram a mesma distância e $t_x$ e $t_y$ são respectivamente o tempo que o objeto demorou para percorrer cada metade na velocidade X e Y.

Agora iremos fazer 2 cálculos:

1-) média aritmética entre X e Y:

$\dfrac{X+Y}{2}=\dfrac{\frac{d}{t_x}+\frac{d}{t_y}}{2}=\dfrac{\frac{d\cdot t_x+d\cdot t_y}{t_x\cdot t_y}}{2}=\dfrac{d\cdot(t_x+t_y)}{2\cdot(t_x\cdot t_y)}$

2-) cálculo de velocidade média:

$Velociade\ media(v_m)=\frac{distancia\ total}{tempo\ total}$

$v_m=\frac{d+d}{t_x+t_y}=\frac{2d}{t_x+t_y}$

assim podemos ver nitidamente que:

$\dfrac{d\cdot(t_x+t_y)}{2\cdot(t_x\cdot t_y)}\neq \dfrac{2d}{t_x+t_y}$

provando que a média aritmética entre as duas velocidades é diferente da velocidade média.