Um objeto é lançado do topo de um muro, de altura h, atingindo o solo após 5 segundos. A trajetória parabólica do objeto é representada pela equação y = – 0,5x² + bx + 2,5, cujo gráfico está apresentado abaixo, onde y indica a altura atingida pelo objeto em relação ao solo, em metros, no tempo x, em segundos.
a) Calcule a altura h e o valor do coeficiente b da equação da trajetória.
b) Determine a altura máxima, em relação ao solo, atingida pelo objeto.
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Soluções para a tarefa
A altura h e o valor do coeficiente b da equação da trajetória são, respectivamente, 2,5 metros e 2; A altura máxima, em relação ao solo, atingida pelo objeto é 4,5 metros.
a) De acordo com o enunciado, o objeto atinge o solo após 5 segundos.
Isso quer dizer que o ponto (5,0) pertence à função y = -0,5x² + bx + 2,5.
Substituindo esse ponto na função, obtemos:
0 = -0,5.5² + 5b + 2,5
0 = -12,5 + 5b + 2,5
5b - 10 = 0
5b = 10
b = 2.
A altura h é definida quando x é igual a 0, ou seja,
h = -0,5.0² + 0.b + 2,5
h = 2,5 metros.
b) A altura máxima é dada pelo y do vértice da parábola.
O y do vértice é definido por yv = -Δ/4a.
Calculando o valor de delta, obtemos:
Δ = 2² - 4.(-0,5).2,5
Δ = 4 + 5
Δ = 9.
Portanto, a altura máxima é igual a:
yv = -9/4.(-0,5)
yv = 9/2
yv = 4,5 metros.