Question

Um objeto, de massa m = 500 g, está em movimento harmônico simples, tal que sua posição no tempo é dada pela função x (t) = 4,0 sen (5,0 t + π/4), no SI. A energia cinética deste objeto em função do tempo é dada por:
a. K (t) = t [sen (5,0t + π/4) ]
b. K (t) = 5,0 cos (5,0t + π/4);
c. K (t) = 20 sen 2 (5,0 t + π/4);
d. K (t) = 100 cos 2 (5,0 t + π/4);

Answer 1

$\displaystyle \text{x(t)}=4.\text{sen}(5\text t+\frac{\pi}{4})$

Energia cinética :

$\displaystyle \text E_\text c= \frac{\text m.[\text {v(t)}]^2}{2}$

temos :

$\text m = 500 \ \text g = 500.10^{-3}\text {kg} = 5.10^{-1}\ \text{kg}$

`Para achar a equação da velocidade basta derivar a equação da posição em relação ao tempo, então :

$\displaystyle \text{v(t)}=[\text{x(t)}]' \\\\ \text{v(t)}=[4.\text{sen}(5\text t+\frac{\pi}{4})] ' \\\\ \text{v(t)}= 4.\text{cos}(5\text t+\frac{\pi}{4}).(5\text t+\frac{\pi}{4})' \\\\ \text{v(t)}=4.5.\text{cos}(5\text t+\frac{\pi}{4}) \\\\\ \boxed{\text{v(t)} =20\text{cos}(5\text t+\frac{\pi}{4})}$

Daí a Equação da energia cinética em relação ao tempo será  :

$\displaystyle \text{E}_\text c= \frac{\displaystyle 5.10^{-1}[20.\text{cos}(5\text t+\frac{\pi}{4})]^2}{\displaystyle 2} \\\\\\ \text{K(t)} = \frac{5.10^{-1}.400.\text{cos}^2(5\text t+\frac{\pi}{4})}{2} \\\\\\ \huge\boxed{\text{K(t)}=100.\text{cos}^2(5\text t+\frac{\pi}{4}) \ }\checkmark \\\\\\ \text{(letra d)}$