Question

Um numero natural positivo é chamado de fabuloso quando seu antecessor é um de seus divisores. Mostre quantos números fabulosos existem.​

Answer 1

Para resolver a questão, lembremos inicialmente da definição de divisibilidade nos números inteiros. A definição nos garante que um dado inteiro a divide o inteiro b (escrevendo a | b) se, e só se, existe um terceiro número c (também inteiro) tal que b = ac. Nesse caso, diz-se também que a é um divisor de b, ou ainda que b é múltiplo de a. Matematicamente, isso é expresso por:

$\sf{a\mid b\ \ \: \iff\ \ \: \exists\,c\,\in\,\mathbb{Z}\,:\,b=ac$

Em contrapartida, se a não divide b (escreve-se a ∤ b), então não existe c inteiro tal que b = ac, e isso equivale a dizer que b não é múltiplo de a (a não é divisor de b). Assim como para a divisibilidade, existe uma definição em linguagem matemática para a não divisibilidade de a por b, que é dada mediante a equivalência abaixo:

$\sf{a \nmid b\ \ \:\iff\ \ \: \nexists \,c\,\in\,\mathbb{Z}\,:\,b=ac$

Baseando-se nas definições acima, depreende-se de imediato que o número 1 (um) está impossibilitado de ser um número fabuloso, devido ao seu antecessor ser o 0 (zero), e este, por definição, não é um divisor da unidade. Na tentativa de encontrar quantos e quais são todos os números fabulosos, caso existam, vamos supor que n seja um número fabuloso e n - 1 o seu antecessor. Destarte, é verdade que:

$\sf{\qquad\ \ \ \:\, \ n-1\mid n}\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ n=\big(n-1\big)k\qquad \big(k\,\in\,\mathbb{Z}\big)}\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ k=\dfrac{n}{n-1}\qquad \big(n\neq 1\big)}\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ k=\dfrac{n-1+1}{n-1}}\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ k=\dfrac{\overbrace{\sf n-1}^{\neq\ 0}}{\underbrace{\sf n-1}_{\neq\ 0}}+\dfrac{1}{n-1}}\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ k=1+\dfrac{1}{n-1}$

Recordando o fato de que n é um número inteiro distinto da unidade, temos que o quociente n/(n - 1), que é igual a k, também deve ser inteiro. Agora, para que isso ocorra, a soma 1 + 1/(n - 1) deve ser inteira, e isso nos leva à busca por todos os possíveis valores de n que satisfazem esta condição. Não é difícil perceber que a referida soma é inteira se, e só se, o quociente 1/(n - 1) for inteiro, o que ocorre apenas quando o seu denominador n - 1 for um divisor de 1. Desse modo, obtemos para n - 1 a seguinte dupla possibilidade:

$\begin{cases}\sf{n-1=1\qquad (i)}\\\\ \sf{ou}\\\\ \sf{n-1=-1\qquad (ii)}\end{cases}$

, onde 1 e - 1 são os dois únicos divisores inteiros do número 1. Da equação (i) extrai-se o primeiro valor possível para n, que é obtido tal como se segue:

$\sf{\qquad\quad \ \ n-1=1}\\\\ \sf{\iff\ \ \ n=1+1}\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \boxed{\sf n=2}}$

Já o outro valor de n é a solução de (ii), ou seja:

$\sf{\qquad\quad\ \ n-1=-1}\\\\ \sf{\iff\ \ \ n=1-1}\\\\ \sf{\iff\ \ \ \boxed{\sf n=0}}$

Como vimos acima, só existem dois valores possíveis para n, e como consequência disso, constata-se a existência, no conjunto dos números inteiros, de apenas dois números fabulosos, que são eles: 0 (zero) e 2 (dois).