Um número natural é um quadrado perfeito se ele for igual ao quadrado de outro número natural. Por exemplo 49 é um quadrado perfeito pois 49=7(2) um número natural é chamado de cubo perfeito se ele for igual ao cubo de outro número natural por exemplo 8 é um cubo perfeito pois 8 = 2 (3)
Soluções para a tarefa
a) Temos 56.33.x = 1848.x
Fatorando o número 1848, obtemos:
1848.x = (2³.3.7.11).x
Para que esse número seja um quadrado perfeito, é necessário que os expoentes de todos esses números primos que surgiram na fatoração sejam pares — isto é, múltiplos de 2. Então, o 2³ precisa ser multiplicado por 2 para virar 2^4, o 3 precisa ser multiplicado por 3 para virar 3², o 7 precisa ser multiplicado por 7 para virar 7² e, por fim, o 11 precisa ser multiplicado por 11 para virar 11². Resumindo, multiplicamos por 2, por 3, por 7 e por 11.
Então, temos:
x = 2.3.7.11
x = 462
b) A mesma lógica utilizada no item a) se aplica ao item b). Porém, observe o seguinte:
– Para que o número seja um quadrado perfeito, os expoentes dos números primos da fatoração precisam ser pares/múltiplos de 2.
– Para que o número seja um cubo perfeito, os expoentes dos números primos da fatoração precisam ser múltiplos de 3.
Então, para que o número seja quadrado e cubo perfeito simultaneamente, ele precisa ser par e múltiplo de 3, e o mínimo expoente que atende a essa condição é o 6. Veja que, nesse caso, multiplicamos com o objetivo de fazer surgir o expoente 6.
Temos z.540². Se fatorarmos o 540, obtemos:
540² = (2².3³.5)² = (2^4).(3^6).(5²)
Do 2^4 para o 2^6, multiplicamos por 2². Não precisamos mexer no 3^6, pois o expoente já é 6. De 5² para 5^6 multiplicamos por 5^4.
Logo:
z = 2².(5^4)
z = 2500