Question

Um número n de dois algarismos é dividido pela soma de seus algarismos, obtendo resto r.
(a) Encontre um númeron tal que r = 0.
(b) Mostre que r não pode ser maior que 15.
(c) Mostre que para qualquer r menor ou igual a 12, existe um n que deixa resto ao dividi-lo pela
soma de seus algarismos.​

Answer 1

Oi tudo bem?

a) Existem vários exemplos onde o resto da divisão é 0, sendo o me nor deles n = 12

(b) Denotemos por S a soma dos algarismos de n.

Observemos que S < 18 e a igualdade somente acontece se n= 99, mas neste caso o resto da divisão é 9.

Se S = 17, temos dois possíveis valores de n = 89 e 98, que quando divididos por 17 deixam respectivamente restos 4 e 13.

Nos números restantes, a soma dos algarismos é menor ou igual a 16. Assim, o resto deve ser menor ou igual a 15.

O resto é igual a 15 se n = 79. Verifique!

(c) Para terminar, basta mostrar um exemplo para cada resto entre 1 e 12. Se consideramos os números 19283791 em todos a soma de seus algarismos é 10 e os restos da divisão por 10 são respectivamente 9, 8, ..., 1. Para os restos 10, 11 e 12, basta con siderar os números 65, 76 e 87.

Espero ter ajudado!