Matemática, perguntado por calbi, 1 ano atrás

UM NUMERO INTEIRO TEM 2 ALGARISMOS ESCREVENDO A SUA ESQUERDA O DOBREO DESSE NUMERO OBTEM-SE UM MULTIPLO DE 67. EXPLIQUE PORQUE ISSO ACONTECE

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
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\bullet\;\; Seja n um número inteiro qualquer que tenha apenas dois algarismos, ou seja,

10 \leq n \leq 99,\;n \in \mathbb{Z}


\bullet\;\; O dobro deste número é 2n.


\bullet\;\; Queremos escrever à esquerda do número n, o dobro dele mesmo. Como n já possui dois algarismos, temos que multiplicar o dobro de n por 

10^{2}=100

e adicionar o resultado a n. Chamaremos o número resultante desta operação de m. Este número m será o número formado escrevendo-se o dobro de n à esquerda de n:

m=\left(2n\cdot 100 \right )+n\\ \\ m=200n+n\\ \\ m=201n\\ \\ m=67\cdot \left(3n \right )


Pela última igualdade acima, fica óbvio que m é um múltiplo de 67, qualquer que seja o número n de dois algarismos.

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Ex.: Tomemos por exemplo o número inteiro de dois algarismos

n=59


O dobro deste número é 

2n=118


O número m formado será

m=\left(2n\cdot 100 \right )+n\\ \\ m=\left(118 \cdot 100 \right )+59\\ \\ m=11\,800+59\\ \\ m=11\,859


Fatorando apropriadamente este número, temos:

m=11\,859\\ \\ m=59 \cdot 201\\ \\ m=59 \cdot \left(3 \cdot 67 \right )\\ \\ m=\left(59 \cdot 3 \right ) \cdot 67


Logo, 
m=11\,859 é múltiplo de 67.


RENATOcajj: Z corresponde aos números inteiros ou os números reais?
Lukyo: Z é o conjunto dos inteiros. O conjunto dos reais é R.
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