Question

Um numero inteiro dado, de quatro algarismos, é tal que a soma dos quadrados dos algarismos das extremidades é igual a 130, enquanto que a soma dos quadrados dos algarismos do meio é igual a 100. Alem disso, subtraindo do numero dado o numero formado invertendo a ordem dos algarismos, obtêm-se a diferença 1 818. Determine o número dado

Answer 1

Consideremos o número como sendo "abcd". Ele diz no enunciado que a soma dos quadrados dos algarismos das extremidades é igual a 130, logo, pode-se afirmar que $a^{2} + d^{2} = 130$. Além disso, ele disse que a soma dos quadrados dos algarismos do meio é 100, logo: $b^{2} + c^{2} = 100$. Logo depois ele diz que abcd - dcba = 1818. À partir dessas informações, podemos concluir o seguinte:
$a^{2} + d^{2} = 130$
Você sabe que dois quadrados precisam necessariamente dar 130, e para isso, os dois precisam ser ímpares. Se você for jogando valores aleatórios, vai perceber que uma possibilidade que funciona é admitindo a e d como 9 e 7:
$9^{2} + 7^{2} = 130$
Daí, precisamos descobrir os valores dos algarismos do meio, aos quais você precisará ir pelo mesmo procedimento, encontrando como duas possibilidades os números 6 e 8:
$6^{2} + 8^{2} = 100$
No entanto, você não sabe ainda as ordens dos elementos, uma vez que "a" pode ser tanto 9 como 7, assim como "b" pode ser 6 ou 8. A única forma de descobrir isso é substituindo os valores na última colocação do enunciado:
abcd - dcba = 1818
1° Possibilidade (a = 9; b=6; c=8; d=7)
9687 - 7869 = 1818
Se você realizar a subtração, verificará que essa subtração está correta, logo esses são os valores de a,b,c e d.
2° Possibilidade (a = 9; b = 8; c = 6; d = 7)
9867 - 7689 = 1818 (SUBTRAÇÃO COM RESULTADO ERRADO)
3° Possibilidade (a = 7; b = 6; c = 8; d = 9)
7689 - 9867 = 1818 (SUBTRAÇÃO COM RESULTADO ERRADO)
4° Possibilidade (a = 7; b = 8; c = 6; d = 9)
7869 - 9687 = 1818 (SUBTRAÇÃO COM RESULTADO ERRADO)

Espero ter ajudado :)