Question

Um número complexo z e seu conjugado são tais que z somado ao seu conjugado é igual a 4 e z menos o seu conjugado é igual a -4i. Nessas condições a forma trigonométrica de z^2 é igual a:

Answer 1

seja $Z=x+yi$, em que x e y pertencem aos reais e i é a unidade imaginária, enato o conjugado de Z sera: $Z'=x-yi$, assim:
$Z+Z'=x+yi+x-yi\\2x=4\\x=2$
$Z-Z'=x+yi-(x-yi)\\2yi=-4i\\y=-2$
portanto: $Z=2-2i$
a fórmula trigonométrica de um número complexo é dado por $Z=|Z|cis(a)$, onde |Z| é o módulo de Z e cis(a) é uma simplificação para (cos(a)+isen(a)) e que $a=arctg(\frac{y}{x})$, em que arctg se lê arco cuja tangente é
assim, o módulo de Z é: $|Z|=\sqrt{(x^{2}+y^{2})}=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+4}\\|Z|=sqrt{8}$ e o argumento (a) é tal que:$tga=\frac{2}{-2}=-1\\ \frac{3(pi)}{4}$ sendo (pi)=π (o software do site nao entende letras gregas)
portanto a fórmula trigonométrica fica $Z=\sqrt{8}.cis\frac{3(pi)}{4}$
para resolver potenciações na forma trigonométrica: $Z^{n}=|Z|^{n}cis(na)$
para n =2:
$Z^{2}=\sqrt{8}^{2}.cis((2)\frac{3(pi)}{4})$
portanto:
$Z^{2}=8.cis\frac{3(pi)}{2}$