Um navio petroleiro é um tipo de navio tanque construído especificamente e exclusivo para o transporte de petróleo e seus derivados, não podendo ser utilizado para acondicionar outros tipos de líquidos. Os navios petroleiros, são usados para transportar não só o petróleo bruto, mas também seus derivados, podendo carregar mais de 400 mil toneladas de combustíveis e derivados. Esses navios apresentam um pavimento repleto de canos interligados, os quais distribuem o óleo de modo igualitário para garantir o equilíbrio da embarcação.
Suponha que por causa de um furo no casco de um navio petroleiro, uma mancha de petróleo se espalha de forma circular de tal forma que seu raio aumenta à uma razão de 6 m/h. Desenvolvendo a taxa de variação da área desta mancha quando o raio é 20 m, obtém-se que essa forma circular estará aumentando a uma taxa de:
A) 360 πm2/h.
B) 240 πm2/h.
C) 407 πm2/h.
D) 20 πm2/h.
E) 120 πm2/h.
Soluções para a tarefa
Essa mancha circular estará aumentando a uma taxa de 240π m²/h, alternativa B.
Derivadas
A derivada é definida como a taxa de variação de uma função e pode ser calculada através de um limite ou utilizando as regras de derivação.
Para calcular a taxa de variação da área dessa mancha, devemos utilizar a regra da cadeia:
dA/dt = dA/dr · dr/dt
sendo r o raio da mancha circular. A área de um círculo é dada por:
A = πr²
Portanto, temos que a derivada da área em relação ao raio é:
dA/dr = 2πr
Do enunciado, sabemos que a taxa de variação do raio é de 6 m/h, logo, a taxa de variação da área é:
dA/dr = 2πr · 6
dA/dr = 12πr
Para r = 20 m, temos:
dA/dr = 12π·20
dA/dr = 240π m²/h
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