Question

Um nadador trainando para as Olimpíadas decidiu nadar 200m no 1º dia e, a cada dia, aumentar 50m em relação à distância anterior. Prosseguindo assim e acumulando as distâncias nadadas por dia, o nadador totalizou 3000 m de nado em quantos dias?

Answer 1

1º dia: 200 m
2º dia: 250 m
3º dia: 300 m
...
Como pode ver, a distância nadada em cada dia forma uma P.A com r = 50
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$P.A(200,250,300,350,...)$

$a_{1} = 200$
$r = 50$

$a_{n} = a_{1} + (n - 1)r$
$a_{n} = 200 + (n - 1)50$
$a_{n} = 200 + 50n - 50$
$a_{n} = 50n + 150$

$S_{n} = (a_{1} + a_{n})*n/2$
$3000=(200 + 50n + 150)*n/2$
$3000*2 = n(50n + 350)$
$6000 = 50n^{2} + 350$

Dividindo todos os membros por 50:

$120 = n^{2} + 7n$
$0 = n^{2} + 7n - 120$

$D = b^{2} - 4*a*c$
$D = 7^{2} - 4*1*(-120)$
$D = 49 + 480$
$D = 529$
$\sqrt{D} = \sqrt{529}$
$\sqrt{D} =23$

$n = (- b +- \sqrt{D}) / (2a)$
$n = (- 7 +- 23) / (2*1)$
$n = (- 7 +- 23) / 2$

Como 'n' é o número de dias, esse deve ser positivo:

$n = (- 7 + 23) / 2$
$n = 16 / 2$
$n = 8$

R: 8 dias