Question

Mostramos que todo campo rotacional é solenoidal, ou seja, para qualquer campo
G(x; y; z) temos:

div rot G =0 (este zero é em vetor)

A reciproca desta afirmação é verdadeira? Ou seja, se F é solenoidal, podemos afirmar que sempre existe G(x; y; z) tal que F = rot G? Justique.

Answer 1

Olá, Fernandjeca.

A proposição a ser demonstrada é:
Se F é solenoidal então sempre existe G(x,y,z) tal que F = rot G.

Para demonstrarmos esta proposição, utilizaremos a técnica da prova por contradição, ou seja, vamos assumir como hipótese o contrário do que queremos provar para, então, chegarmos a uma contradição.

Negar que sempre existe G(x,y,z) tal que F = rot G significa dizer que nunca existe G(x,y,z) tal que F = rot G. Em outras palavras,significa dizer que:

$F\neq \text{rot }G,\text{para qualquer }G(x,y,z)$

Isto implica que:

$\text{div }F\neq \underbrace{\text{div rot }G}_{=0} \Rightarrow \text{div }F\neq 0$

Chegamos, portanto, à contradição, pois, por hipótese, F é solenoidal, ou seja, div F = 0.

Conclusão: a proposição que desejávamos provar é verdadeira, ou seja: se F é solenoidal então sempre existe G(x,y,z) tal que F = rot G.