Question

um movel segue trajetoria dada por : y2= 4x. no instante t=0, o móvel encontra se na origem com velocidade V(0)=√12j. a projeção do movimento no eixo das abcissas é uniformemente acelerado com a aceleração ax= 6m/s2. pedem se.a) a equação horária do vetor posiçãob) a equação horária do vetor velocidadec) a equação horária do vetor aceleraçãod) o instante em que o vetor velocidade faz 30° com o eixo ye) as componentes tangencial e normal da aceleração, e o raio de curvatura da traje, no instante t= 2s

Answer 1

Olá!

a) A equação horária do vetor posição

Temos os seguintes dados:

- A projeção do movimento no eixo das abcissas é uniformemente acelerado com a aceleração ax= 6 m/s². Isso nos permite escreve o movimento na direção x como:

$x(t)=x(0)+v_x(0)t+\frac{a_x}{2}t^2$ ,

que nada mais é do que a equação que descreve o movimento uniformemente acelerado.

- No instante t=0, o móvel encontra se na origem com velocidade v(0)=√(12)ĵ. Ou seja, temos que a velocidade e posição iniciais (no eixo x) são nulas:

$x(0)=0$
$v_x(0)=0$

Assim, a equação que descreve a projeção do movimento na direção x é:

$x(t)=x(0)+v_x(0)t+\frac{a_x}{2}t^2$
$x(t)=0+0\cdot{t}+\frac{6}{2}t^2$
$x(t)=3t^2$ 

Agora, lembre que temos o seguinte vínculo entre entre as componentes x e y do movimento:

$y^2=4x$

De onde podemos escrever:

$y(t)=\pm\sqrt{4x(t)}$

Note que a equação acima admite dois sinais (positivo ou negativo). Vou escolher o sinal positivo e logo você vai entender o por quê. Com isso, temos:

$y(t)=\sqrt{4x(t)}$

Utilizando a equação que encontramos para a projeção do movimento no eixo x:

$y(t)=\sqrt{4\cdot{3}t^2}$
$y(t)=\sqrt{12}t$

Agora que conhecemos a dependência temporal de cada componente do vetor posição, podemos escrevê-lo explicitamente:

$\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}$
$\vec{r}(t)=(3t^2\hat{i}+\sqrt{12}t\hat{j})\,m$

b) a equação horária do vetor velocidade

Para obter o vetor velocidade, basta você lembrar que a velocidade é a derivada da posição. Logo, escrevemos:

$\vec{v}(t)=\frac{\text{d}\vec{r}}{\text{d}t}$
$\vec{v}(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(3t^2\hat{i}+\sqrt{12}t\hat{j}\right)$
$\vec{v}(t)=(6t\hat{i}+\sqrt{12}\hat{j})\,m/s$

Note o significado de termos escolhido o sinal positivo da raiz no item (a). Se tivéssemos escolhido um sinal negativo, a componente y do vetor velocidade seria negativa para t=0 (e qualquer outro t). No entanto, o enunciado estabelece que a velocidade inicial tem componente y positiva e igual a √(12), tal como encontramos escolhendo a raiz positiva.

c) a equação horária do vetor aceleração

A aceleração é definida como a taxa de variação temporal da velocidade. Isto é, o vetor aceleração é igual à derivada do vetor velocidade. Assim, temos:

$\vec{a}(t)=</span>\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t}$
$\vec{a}(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(6t\hat{i}+\sqrt{12}\hat{j}\right)$
$\vec{a}(t)=(6\hat{i})\,m/s^2$

d) o instante em que o vetor velocidade faz 30° com o eixo y

Existe mais de uma forma de resolver este item. Vou pelo caminho que acredito ser o mais simples. O produto escalar entre dois vetores a e b pode sempre ser escrito como:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\cdot</span>\|\vec{b}\|\text{cos}\theta$ ,

onde θ é o ângulo entre os dois vetores. Para obter o que o enunciado pede, vamos considerar que o vetor a é a velocidade e o vetor b é o vetor unitário j, que aponta na direção y. Com isso, temos:

$\vec{v}\cdot\hat{j}=\|\vec{v}\|\cdot\|\vec{i}\|\text{cos}(30\º)$

Lembre-se que o módulo do vetor j é 1, por definição. Logo:

$\langle{6t},\sqrt{12}\rangle\cdot\langle{0},1\rangle=sqrt{(6t)^2+(sqrt{12})^2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$

Resolvendo a equação acima obtemos:

$t=\frac{1}{3}\,s$

Portanto, no instante t=1/3 o ângulo entre o vetor velocidade e o eixo y é de 30º.

e) as componentes tangencial e normal da aceleração, e o raio de curvatura da trajetória, no instante t= 2s

Para calcular as componentes tangencial e normal da aceleração, primeiro vamos calcular os vetores unitários normal e tangente à trajetória no instante t=2s.

O vetor unitário tangente à trajetória descrita por r(t) é dado por:

$\vec{T}(t)=\frac{\vec{r}'(t)}{\|</span>\vec{r}'(t)\|}$

No instante t=2, obtemos (omitindo os cálculos, para não exceder o limite de caracteres da resposta):

$\vec{T}(2)=\frac{\sqrt{12}\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{13}}$

Assim, a componente tangencial da aceleração pode ser obtida através do produto escalar entre o vetor tangencial unitário T e o vetor aceleração. Para t=2, temos:

$a_T(t=2)=\vec{a}(2)\cdot\vec{T}(2)$
$a_T(t=2)=(6\hat{i})\cdot\frac{\sqrt{12}\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{13}}$
$a_T(t=2)=12\sqrt{\frac{3}{13}}\,m/s^2$

De forma similar, podemos calcular a componente normal da aceleração utilizando o vetor normal unitário:

$N(t)=\frac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|}$

Já o raio de curvatura você pode calcular utilizando a fórmula:

$\rho(t)=\frac{\|\vec{r}'(t)\|}{\|\vec{T}'(t)\|}=\frac{\|\vec{v}(t)\|}{\|\vec{T}'(t)\|}$

Esses cálculos eu deixo para você porque já atingi o limite de espaço para a resposta!! haha

Espero ter ajudado!