Question

Um movel se movimentando no plano xy tem seu movimento descrito pelas sequintes funções horarias: x( t ) = t²+2t+1 e y( t ) = 3t²-2t+2, comx,y em metros. para o instante em que t = 1 s, quais são:

a) o vetor velocidade v e o modulo v ?
b) o vetor aceleração a e o modulo a ?

Answer 1

O movimento do corpo é descrito pelas funções:

$\begin{cases}x(t) = t^2+2t+1 \\ y(t) = 3t^2-2t+2\end{cases}.$

Podemos derivar cada uma das equações em relação ao tempo:

$\begin{cases}\dot{x}(t) = 2t+2 \\ \dot{y}(t) = 6t-2\end{cases}.$

Portanto, o vetor velocidade em cada instante $t$ é:

$\vec{v}(t) = \dot{x}(t)\hat{x} + \dot{y}(t)\hat{y} = (2t+2)\hat{x} + (6t-2)\hat{y}\textrm{ m/s}.$

No instante $t = 1\textrm{ s}$, temos:

$\vec{v}(1) = (2 \times 1+2)\hat{x} + (6 \times 1-2)\hat{y} = 4\hat{x} + 4\hat{y}\textrm{ m/s}.$

O módulo é então:

$|\vec{v}(1)| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{2 \times 4^2} = 4\sqrt{2} \textrm{ m/s}.$

Derivando uma vez mais as equações, temos:

$\begin{cases}\ddot{x}(t) = 2 \\ \ddot{y}(t) = 6\end{cases}.$

Portanto, o vetor aceleração em cada instante $t$ é:

$\vec{a}(t) = \ddot{x}(t)\hat{x} + \ddot{y}(t)\hat{y} = 2\hat{x} + 6\hat{y}\textrm{ m/s}^2.$

Esta aceleração é igual para todos os instantes. Em particular, para o instante $t = 1\textrm{ s}$:

$\vec{a}(1) = 2\hat{x} + 6\hat{y}\textrm{ m/s}^2.$

O módulo é então:

$|\vec{a}(1)| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = \sqrt{2^2 \times 10} = 2\sqrt{10} \textrm{ m/s}^2.$