Um motor de massa 175 kg está apoiado em quatro molas, cada uma tendo constante de 3x10 3 N/m. O rotor do motor é desbalanceado e a força centrífuga devida a esse deslocamento é 90 N. O motor move-se apenas na vertical. Determine a frequência em que ocorrerá a ressonância.
Soluções para a tarefa
Resp VIBRAÇÃO DEVIDA AO DESBALANCEAMENTO ROTATIVO
Se o centro de massa de um corpo rígido em rotação não coincidir com o centro de rotação, dizemos que o
sistema está desbalanceado. A fig. 1 mostra uma máquina de massa total M, a qual inclui a massa
desbalanceada m, situada a uma distância r (chamada excentricidade) do centro de rotação. Ao produto
mr denominamos desbalanceamento. A máquina está montada sobre uma suspensão ativa composta por
uma mola k e um amortecedor c. Consideremos que as partes rotativas (que compõem o rotor) giram com
velocidade angular \u3c9 rad/s. Sabemos, da Física, que será gerada uma força centrífuga f0 com ponto de
aplicação na massa m e módulo m\u3c92r. Tal força gira com o rotor, apontando radialmente para fora.
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Aplicações:
Desbalanceamento Rotativo
Excitação da Base
Isolamento de Vibrações
Aplicações: Desbalanceamento Rotativo, Excitação da Base, Isolamento de Vibrações
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Na presente análise, vamos considerar o movimento apenas no sentido vertical, restringindo o movimento
horizontal através de \u201cparedes\u201d verticais fictícias, conforme mostrado na figura. Tal consideração
assegura um grau de liberdade ao sistema.
Fig. 1
A força centrífuga desbalanceadora
(1) f0 = m\u3c92r
pode ser decomposta em uma componente horizontal, f0cos\u3c9t, que é equilibrada pela reação da parede
vertical, e em uma componente vertical
(2) f(t) = m\u3c92r sen\u3c9t
que fará o sistema vibrar na direção vertical. Comparando com o estudo feito anteriormente, concluímos
tratar-se também de um forçamento harmônico, sendo que agora o valor da amplitude do forçamento é
conhecido e dado pela eq. (1). Assim sendo, podemos aproveitar os resultados anteriores, simplesmente
substituindo f0 por m\u3c92r. Vimos que o fator de amplificação e o ângulo de fase são dados,
respectivamente, por:
(3)
2220 )2()1(
1
k
f
XFA
\u3c2\u3bd+\u3bd\u2212
==
(4) )
1
2(arctg 2\u3bd\u2212
\u3c2\u3bd\u2212=\u3c6
Substituindo f0 por m\u3c92r na eq. (3) e tendo em conta que k = M\u3c9n2, chegamos facilmente à expressão do
fator de amplificação para o caso do desbalanceamento rotativo:
(5)
222
2
)2()1(mr
MXFA
\u3c2\u3bd+\u3bd\u2212
\u3bd==
cujo gráfico é mostrado na fig. 2 para vários valores de \u3b6. Podemos tirar observações interessantes do
gráfico, algumas delas semelhantes às obtidas para o caso já examinado anteriormente:
Aplicações: Desbalanceamento Rotativo, Excitação da Base, Isolamento de Vibrações
3
Fig. 2
(1) Fatores de amortecimento mais fortes tendem a diminuir o fator de amplificação e, em conseqüência,
a amplitude da vibração, principalmente para \u3bd < 3.
(2) Já para \u3bd \u2265 3, quase nenhum proveito obtemos usando amortecedores mais fortes; isso é importante
do ponto de vista prático: de nada adianta usarmos fortes amortecimentos com o objetivo de reduzir
a amplitude da vibração quando o sistema operar com \u3bd \u2265 3, pois, nessa faixa, as curvas praticamente
coincidem.
(3) Quando \u3bd = 1 ocorre o chamado fenômeno da ressonância, no qual a freqüência da excitação iguala a
freqüência natural do sistema e grandes amplitudes se observam. Normalmente, é uma situação
indesejável, pois grandes amplitudes de vibração levam a altos níveis de tensão que podem conduzir ao
colapso do material. Fazendo \u3bd = 1 na eq. (5), obtemos o valor da amplitude na ressonância:
(6)
M2
mrXres \u3c2=
Já a substituição de \u3bd = 1 na eq. (4) permite que obtenhamos o valor do ângulo de fase na
ressonância:
(7) \u3c6 = \u3c0/2
(4) Por outro lado, podemos notar que os valores máximos de amplitude ocorrem, agora, um pouco à
direita de \u3bd = 1 e cada vez mais à direita, à medida que cresce o valor de \u3b6. Isso pode ser facilmente
demonstrado usando a teoria dos máximos e mínimos, caso em que podemos provar que o valor
máximo da amplitude se encontra na abcissa
(8)
221
1
\u3c2\u2212
=\u3bd
Aplicações: Desbalanceamento Rotativo, Excitação da Base, Isolamento de Vibrações
4
No que diz respeito ao ângulo de fase, a eq. (4) permanece a mesma, logo também resta imutável o seu
gráfico (ver fig. 3).