Question

Um míssil viajando paralelamente à superfície da Terra com uma velocidade de 180(m/s), passa sobre um canhão à altura de 4.800(m) no exato momento em que seu combustível acaba. Nesse instante, o canhão dispara a 45° e atinge o míssil. O canhão está no topo de uma colina de 300(m) de altura. Determine a altura da posição de encontro do míssil com a bala do canhão, em relação ao solo. Use g = 10 m/s².

Answer 1

Olá!

Como se trata de um lançamento oblíquo tanto para o míssil quanto para o canhão, temos que dividir os movimentos nas componentes X e Y tanto para o míssil quanto para o canhão. Usarei o sub-índice "canhao" e "missil" para identificar as variáveis.
Retirando os dados fornecidos, temos:

• Para o míssil
$Vo_{\:missil} = 180\:m/s$
$Ho_{missil} = 4800m$

• Para o canhão
$Ho_{\:canhao} = 300m$
$\theta = 45^o$

• Interpretação
1. Como há, efetivamente, o encontro entre a bala do canhão com o míssil, significa que as posições deles serão iguais

$H_{missil} = H_{canhao}$

2. Esse "acaba o combustível" significa que o míssil passa a descrever deste momento em diante um movimento de queda-livre com uma velocidade inicial $Vo_{missil}$ no eixo Y. Lembre-se que em X o movimento é retilíneo e uniforme, já que o problema despreza forças de arrasto e a única aceleração envolvida é a gravitacional.

3. Uma abordagem é descrevermos os movimentos do canhão e do míssil em X e Y e igualarmos as respectivas equações do movimento, já que sabemos que no fim suas posições serão iguais (há o impacto).

-----Equações para o míssil-----

1. Horizontal
O movimento horizontal é um MRU pois não há forças contrárias ao movimento possam causar uma aceleração no míssil. Assim, 

$X_{missil} = Xo_{\:missil} + Vox_{\:missil}\cdot t$

Considerando que o movimento começou efetivamente quando acabou o combustível (logo acima do canhão), então $Xo_{missil} = 0$. A equação fica, portanto:

$X_{missil} = 180\cdot t$ 

2. Vertical
Neste caso, a aceleração gravitacional "empurra" o míssil pra baixo. Seu movimento já não é mais, portanto, um MRU, e sim um MRUV. Descrevemos sua posição ao longo do tempo por:

$H_{\:missil} = Ho_{\:missil} + Voy_{\:missil}\cdot t - \frac{1}{2}gt^2$

onde $Ho_{missil} = 4800$ e $Voy_{missil} = 0$ pois se trata da componente vertical da velocidade, e o míssil não tem velocidade inicial em Y, mas sim em X (ele começa a cair quando termina seu combustível; até então ele seguia em uma linha reta). Reescrevemos como:

$H_{missil} = 4800 - \frac{1}{2}gt^2$

-----Equações para o canhão-----

1. Horizontal
Na horizontal, bem como para o míssil, não há forças que interfiram no deslocamento; portanto, se trata de um MRU:

$X_{\:canhao} = Xox_{\:canhao} + Vox_{\:canhao}\cdot t$

Mas $Vox_{canhao}$ depende do ângulo de lançamento $\theta$. Como a componente X da velocidade é o cateto adjascente do triângulo retângulo formado pelas componentes da velocidade, então seu valor é, efetivamente, 

$Vox = Vox\cdot cos(\theta)$

Substituindo na equação anterior e considerando $Xox = 0$ e $\theta = 45$,

$X_{\:canhao} = Vox_{canhao}\cdot cos(45)t$ 

2. Vertical
Da mesma forma, temos agora uma aceleração em Y. Logo, vamos descrever o movimento do tiro como um MRUV:

$H_{\:canhao} = Hoy_{\:canhao} + Voy_{\:canhao}\cdot t - \frac{1}{2}gt^2$

Mas, da mesma forma para o movimento horizontal, a componente Y da velocidade depende do ângulo de lançamento. No caso do sistema formado pelas componentes representado num triângulo retângulo, a componente Y da velocidade é o cateto oposto deste triângulo, e seu valor depende do seno do ângulo. Logo, 

$Voy_{\:canhao} = Voy_{\:canhao}\cdot sen(\theta)$

Substituindo na equação junto com os dados do exercício, 

$H_{\:canhao} = 300 + Voy_{\:canhao}\sen(45)- \frac{1}{2}gt^2$

----Igualando os movimentos----
Sabemos que podemos igualar os movimentos pois, como já visto, eles se encontrarão. Assim, 

$X_{\:canhao} = X{\:missil}$
$Vox_{canhao}\cdot cos(45)\cdot t = 180\cdot t$
$Vox_{canhao}\cdot cos(45) = 180$  

E, para o movimento vertical:

$H_{\:missil} = H_{\:canhao}$
$4800 - \frac{1}{2} 10t^2 = 300 + Voy_{canhao}\cdot sen(45)\cdot t - \frac{1}{2}10t^2$

Porém $sen(45) = cos(45)$. Simplificando o que pudermos, temos:

$4800 = 300+180t$

Resolvemos para o tempo e econtramos o instante em que os dois irão se encontrar:

$t = \frac{4800-300}{180} = 25s$

Isso significa que 25 segundos após terminar o combustível, ou, da mesma forma, após o tiro do canhão, ambos se encontrarão. Substituindo esse valor do tempo em qualquer equação para o movimento vertical (já que o exercício pede a altura em que ambos se encontram), chegamos ao resultado:

$H = 4800-5(25)^2$

$H = 1675 \:m$

Abraço!