Question

Um manômetro utilizado em um laboratório de mecânica dos fluidos tem um furo uniforme, cuja área da seção transversal é A. Se a coluna de líquido de comprimento L e massa específica ρ é posta em movimento como mostra a figura abaixo, determine a frequência natural do movimento resultante. Admita que o empuxo da água seja a força restauradora.

Answer 1

Sabemos pelo princípio de Arquimedes que o empuxo é uma força volumétrica provocada pelo fluido:
$\vec{E}=\Delta m\vec{g}=\Delta V\rho \vec{g}$
a energia potencial associada a um elemento dz de fluido elevado na coluna será dada por:
$\displaystyle U(z)=\rho Az^2g$
e a energia cinética associada:
$\displaystyle T=\frac{1}{2}\rho V\left(\frac{dz}{dt}\right)^2$
a energia total de oscilação será então:
$\displaystyle E=\frac{1}{2}\rho V\left(\frac{dz}{dt}\right)^2+\rho Agz^2$

Consideraremos agora um oscilador harmônico simples feito com uma mola acoplada à uma massa, sabemos que o oscilador obedecerá a seguinte equação de movimento:
$m\ddot{x}=-kx\implies \ddot{x}+\omega^2x=0\implies x(t)=A\cos\left(\omega t+\delta \right)$
a velocidade do oscilador é dada por:
$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\delta)$
portanto a energia cinética e potencial desse oscilador é:
$\displaystyle K(t)=\frac{1}{2}mA^2\omega^2\sin^2(\omega t+\delta)\\\\U(t)=\frac{1}{2}m\omega ^2A^2\cos^2(\omega t+\delta)$
Comparando a fórmula de energia dos osciladores harmônicos simples com  a coluna fluida que oscila percebemos que:
$\displaystyle \frac{1}{2}\rho A L=\frac{1}{2}m\omega ^2=\frac{1}{2}k$
são equivalentes, ou seja:
$\displaystyle \frac{1}{2}\rho AL\omega^2=\rho Ag\implies \omega^2=\frac{2g}{L}$
ou seja:
A frequência natural de ressonância desse oscilador é:
$\displaystyle \Omega=\frac{\omega}{2\pi}=\sqrt{\frac{g}{2\pi^2L}}$

Caso haja problemas para visualizar sua resposta, acesse-a pelo link, https://brainly.com.br/tarefa/10471309

Bons estudos!