Question

Um jovem estudante para fazer a barba mais eficientemente, resolve comprar um espelho
esférico que aumente duas vezes a imagem do seu rosto quando ele se coloca a 50 cm
dele. Que tipo de espelho ele deve usar e qual o raio de curvatura?

Answer 1

Sabe-se que ele quer obter uma imagem do objeto (rosto) ampliada. Assim, deve-se ter: 
y' = 2y 
A única possibilidade para que isso ocorra é usando um espelho côncavo, pois quando o objeto está muito próximo há a formação de uma imagem ampliada e direita, afinal ninguém vai fazer a barba com a sua imagem invertida. assim, sabe-se que quando a imagem é direita em relação ao objeto, ela fica positiva, assim como o objeto. Então, de acordo com a equação do aumento linear transversal, tem-se: 
A = y' / y = -p' / p 
Usando essa última igualdade, tem-se: 
2y / y = -p' / p 
2 = -p' / p 
p' = -2p 
p' = -2*50 
p' = -100 cm (imagem virtual) 
Certo. Para o espelho côncavo e o objeto nessa posição há a formação de uma imagem direita e virtual. agora, aplicando na equação dos pontos conjugados de Gauss, tem-se: 
1 / f = 1/p + 1/p' 
fazendo-se o mmc de f, p e p', tem-se: 
pp' = fp' + fp 
50*(-100) = -100f + 50f 
-5000 = -50f *(-1) 
f = 5000 / 50 
f = 100 cm = 1m (positivo = espelho côncavo) 
Assim, o raio de curvatura nada mais é que o dobro do foco, logo: 
R = 2f 
R = 2*100 
R = 200 cm = 2m