Question

Um jovem encontra­se a certa distância
de uma rocha que deseja escalar. Para estimar a altura dela, observa
seu topo a um ângulo de 30° com relação ao plano do solo. Movimenta­se
em direção à rocha, aproximando­se 90 m mais. Neste ponto, observa seu
cume novamente, dessa vez, a um ângulo de 60°.

Answer 1

A resposta é 45 raiz 3.

Answer 2

Podemos representar a situação do enunciado como na figura em anexo. 

A jovem encontrava-se no ponto $A$ e aproximou-se $90~\text{m}$ da rocha, percorrendo o segmento $AD=90$.

O ponto $B$ representa a base da rocha e o ponto $C$ o topo da mesma.

Sejam $BD=x$ e $BC=h$. No triângulo $BCD$, temos:

$\text{tg}~60^{\circ}=\dfrac{BC}{BD}~~\Rightarrow~~\sqrt{3}=\dfrac{h}{x}~~\Rightarrow~~\boxed{x\sqrt{3}=h}$

Por outro lado, no triângulo $ABC$, temos:

$\text{tg}~30^{\circ}=\dfrac{BC}{AB}~~\Rightarrow~~\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{h}{90+x}$

$3h=\sqrt{3}\cdot(90+x)~~\Rightarrow~~3h=90\sqrt{3}+x\sqrt{3}$

Lembrando que $x\sqrt{3}=h$, segue que:

$3h=90\sqrt{3}+h~~\Rightarrow~~2h=90\sqrt{3}~~\Rightarrow~~h=\dfrac{90\sqrt{3}}{2}$

Logo, $\boxed{h=45\sqrt{3}~\text{m}}$; 

A altura da rocha é de $45\sqrt{3}$ metros.