Question

Um jogador de basquete tradicionalmente faz 85% de seus lances livres.
Suponha que ela atire 10 cestas e conte o número que ela faz. Qual é a
probabilidade de ela fazer menos de 8 cestas?

Answer 1

A situação descrita prevê 10 eventos e, cada um desses, com duas possibilidades de resultado: acertar ou errar.

Sendo assim, podemos utilizar o modelo de distribuição binomial.

$\sf P~=~C_{n,k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\\\\\Onde:~~\left\{\begin{array}{ccl}\sf n&:&\sf Total~de~eventos~(lances~livres)\\\sf k&:&\sf Total~de~sucessos~(cestas~marcadas)\\\sf p&:&\sf Probabilidade~de~sucesso~(prob.~de~acertar~a~cesta)\end{array}\right$

Note, no entanto, que o exercício nos pede a probabilidade de serem feitas menos de 8 cestas, ou seja, há muitas possibilidades de resultado que satisfazem esse critério. Vamos lista-las:

--> Acertar 7 e errar 3

--> Acertar 6 e errar 4

--> Acertar 5 e errar 5

--> Acertar 4 e errar 6

--> Acertar 3 e errar 7

--> Acertar 2 e errar 8

--> Acertar 1 e errar 9

--> Acertar 0 e errar 10

Assim, a probabilidade desejada deveria ser calculada somando-se a probabilidade de ocorrência de cada uma dessas possibilidades utilizando a distribuição binomial. Claro, é fácil perceber que serão feitos muitos cálculos para chegar no resultado, mas podemos diminuir um pouco essa quantidade.

Lembre-se que a soma das probabilidades de ocorrência de todas situações possíveis será igual a 1.

Logo, para determinar a probabilidade de serem feitas menos de 8 cestas, podemos calcular a probabilidade de serem acertadas 8 cestas ou mais e, posteriormente, subtrair o resultado encontrado de 1.

$\sf \underline{\sf Acertar~8~e~Errar~2}:\\\\\\P(n=10,k=8)~=~C_{10,8}\cdot (0,85)^8\cdot (1-0,85)^{10-8}\\\\\\P(n=10,k=8)~=~\dfrac{10!}{8!\cdot (10-8)!}\cdot (0,85)^8\cdot (0,15)^{2}\\\\\\P(n=10,k=8)~=~\dfrac{10\cdot 9\cdot \not\!8!}{\not\!8!\cdot 2!}\cdot \underbrace{(0,85)^8\cdot (0,15)^{2}}_{\approx~0,006131}\\\\\\P(n=10,k=8)~\approx~45\cdot 0,006131\\\\\\\boxed{\sf P(n=10,k=8)~\approx~0,2759}$

$\sf \underline{\sf Acertar~9~e~Errar~1}:\\\\\\P(n=10,k=9)~=~C_{10,9}\cdot (0,85)^9\cdot (1-0,85)^{10-9}\\\\\\P(n=10,k=9)~=~\dfrac{10!}{9!\cdot (10-9)!}\cdot (0,85)^9\cdot (0,15)^{1}\\\\\\P(n=10,k=9)~=~\dfrac{10\cdot \not\!9!}{\not\!9!\cdot 1!}\cdot \underbrace{(0,85)^9\cdot (0,15)^{1}}_{\approx~0,03474}\\\\\\P(n=10,k=9)~\approx~10\cdot 0,03474\\\\\\\boxed{\sf P(n=10,k=9)~\approx~0,3474}$

$\sf \underline{\sf Acertar~10~e~Errar~0}:\\\\\\P(n=10,k=10)~=~C_{10,10}\cdot (0,85)^10\cdot (1-0,85)^{10-10}\\\\\\P(n=10,k=10)~=~\dfrac{10!}{10!\cdot (10-10)!}\cdot (0,85)^{10}\cdot (0,15)^{0}\\\\\\P(n=10,k=10)~=~\dfrac{\not\!10!}{\not\!10!\cdot 0!}\cdot \underbrace{(0,85)^{10}\cdot 1}_{\approx~0,1969}\\\\\\P(n=10,k=10)~\approx~1\cdot 0,1969\\\\\\\boxed{\sf P(n=10,k=10)~\approx~0,1969}$

Po fim, temos então que a probabilidade de acertar menos de 8 cestas é:

$\sf Acertar~menos~de~8~=~1~-~^{Acertar~8}_{~Errar~2}~-~^{Acertar~9}_{~Errar~1}~-~^{Acertar~10}_{~Errar~0}\\\\\\\sf Acertar~menos~de~8~=~1~-~0,2759~-~0,3474~-~0,1969\\\\\\Acertar~menos~de~8~=~1~-~0,8202\\\\\\\boxed{\sf Acertar~menos~de~8~=~0,1798}~~ou~~ \boxed{\sf Acertar~menos~de~8~=~17,98\%}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$