Question

Um Industrial, quando produz x unidades de um certo produto, as vende a 130-2x reais cada uma. O custo de produção de x unidades e c(x)=x²/5+15x+500
reais. Quantas unidades a industria deve produzir para otimizar o lucro?

Prezados Segue anexo foto da questão

Answer 1

Vamos lá.

Veja que o custo dessa empresa, para produzir "x" unidades é dado por:

C(x) = x²/5 + 15x + 500 ------- mmc = 5. Assim:
C(x) = (1*x² + 5*15x + 5*500)/5
C(x) = (x²+75x+2.500)/5 <---- Esta é a função que dá o custo para a produção de "x" unidades.

Por sua vez, para a venda dessas mesmas "x" unidades, cada unidade é vendida por (130-2x). Então a função receita, para a venda de "x' unidades é dada por:

R(x) = (130-2x)*x ----- desenvolvendo, teremos:
R(x) = 130*x - 2x*x
R(x) = 130x - 2x²  ---- ou, ordenando:
R(x) = - 2x² + 130x  <--- Esta é a função receita quando vendem-se "x' unidades do produto.

Agora vamos à função lucro, que é dada pela função receita menos a função custo. Assim:

L(x) = R(x) - C(x) ---- substituindo-se R(x) e C(x) por suas respectivas representações, teremos:

L(x) = - 2x² + 130x - (x²+75x+2.500)/5 ---- mmc = 5. Assim:
L(x) = [5*(-2x²+130x) - (x²+75x+2.500)]/5
L(x) = (-10x²+650x - x² - 75x - 2.500)/5 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

L(x) = (-11x² + 575x - 2.500)/5

Agora veja que o máximo da função será dada quando forem vendidas "x" unidades, que será encontrado pelo "x" do vértice (xv), cuja fórmula é esta:

xv = -b/2a ------ vendo a função acima, substituiremos "b" por "575" e "a" por "-11". Assim:

xv = -575/2*(-11)
xv = -575/-22 ----- ou apenas (veja que, na divisão, menos com menos dá mais). Assim:

xv = 575/22
xv = 26,13 ou, arredondando-se, 26 unidades. Ou seja, quando forem vendidas (aproximadamente) 26 unidades teremos o lucro máximo.

Agora vamos ver qual será o lucro com  a venda dessas 26 unidades. Para isso, iremos na função acima, e substituiremos "x" por "26" (aproximadamente). Assim:

(-11*26² + 575*26 - 2.500)/5 = (-11*676 + 575*26 - 2.500)/5 =
= (-7.436 + 14.950 - 2.500)/5 = (5.014)/5 = 1.002,80 ou, arredondando-se:
1.003,00. Ou seja, a resposta correta é a 4ª opção que afirma:

Com aproximadamente 26 unidades o lucro será de aproximadamente R$ 1.003,00. <---- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.