Question

Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode andar uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita . Se ele andar 10 unidades qual a probabilidade de chegar no ponto P ( 7,3 ) ?

Answer 1

Provavelmente o que ele andar dera que ser o resultado entre a soma dos valores que ele andar em X e em Y.
 
 As possibilidades de somas que resultem 10 é :

Um espaço amostral de 2^10 = 1024

Porém a questão que a probabilidade da soma resultar no ponto (7,3),então como a ordem não importa seria uma combinação de C7,3.

$C=\frac{N!}{P!(N-P)!}$$C=\frac{10!}{7!(10-7)!}......... C= \frac{10.9.8.7!}{7!.3!}........C=\frac{720}{6}......C=120$


Então a probabilidadade seria o as possiblidades de que resultam é (7,3) sobre as totais :


Probabilidade : 120/1024 , simplificando por 8 , P=15/128

Answer 2

Temos (pelo menos) 2 formas diferentes de resolver esta questão ..ou utilizando o conceito de probabilidade simples P = n(a)/n(S) ..ou recorrendo ao conceito de Binomial.

..note que á semelhança de exercicios para determinar o nº de filhos de cada sexo (por exemplo) ...aqui também temos apenas 2 opções de movimento  ...ou para cima ...ou para a direita ...ou por outras palavras ainda temos apenas 2 opções por cada passo dado ..logo uma probabilidade de (1/2) para cada opção.

..temos um limite de 10 passos para dar 

..para chegar ao ponto (7,3) ..temos sempre que dar 7 passos para cima e 3 passos para a direita ...SEJA EM QUE ORDEM FOR!!

Assim, vamos começar as resoluções:


1ª FORMA:

..Como temos sempre que dar 7 passos para cima e 3 passos para a direita ...SEJA EM QUE ORDEM FOR!! então o número de eventos favoráveis "n/(a)" será dado por C(10,7) ...ou por C(10,3)
..é indiferente visto que dos 10 passos possíveis vc só pode dar os "7" para um lado ou "3" para o outro ..ok??

..Como temos 2 hipóteses de escolha para cada passo e temos 10 passos para dar ..então o nosso espaço amostral "n(S)" sera definido por 2¹⁰ ..ou seja 1024

pronto a probabilidade (P) será dada por:

P = C(10,7)/2¹⁰

P = [10!/7!(10-7)!]/2¹⁰

P = (10!/7!3!)/1024

P = (10.9.8/6)/1024

P = (720/6)/1024

P = 120/1024

...simplificando  ...mdc = 8

P = 15/128 <--- probabilidade pedida



2ª FORMA

..Como vimos em cima o número de "combinações" de dar 7 passos (em 10 possíveis) é dado por C(10,7)

..A probabilidade de sucesso (passos para cima) = 1/2  ...o que implica uma probabilidade de insucesso de 1 - 1/2 = 1/2

(note que pode admitir "sucesso" como passos á direita C(10.3) ..que o resultado vai ser igual ..ok?)

..pronto podemos definir a nossa Binomial:

P = C(10,7) . (1/2)⁷ . (1/2)³

P = (120) . (1/128) . (1/8)

P = 120 . (1/1024)

P = 120/1024

...simplificando  ..mdc = 8

P = 15/128 <-- probabilidade pedida



Espero ter ajudado de novo