Question

Um homem dispara 12 tiros independentes num alvo. Se a probabilidade de acerto do atirador é de 90%, qual a probabilidade de que o alvo seja atingido pelo menos duas vezes, sabendo-se que o mesmo foi atingido pelo menos uma vez?

Answer 1

Pelo que entendi, o que você quer calcular é o seguinte:

$P(X \geq 2 | X \geq 1)$

Ou seja, sendo X a variável aleatória independente que representa o número de acertos no alvo, a probabilidade de acertar 2 ou mais vezes dado que o alvo atingido pelo menos uma vez.

A probabilidade condicional pode ser escrita como:

$P(B| A) = \dfrac{P(A \cdot B)}{P(A)}$

Assim:

$P(X \geq 2 | X \geq 1) = \dfrac{P(X\geq 2) \cdot P(X \geq 1)}{P(X \geq 1)}$

Mas a probabilidade de ter dois ou mais acertos e, ao mesmo tempo, um ou mais acertos é simplesmente a probabilidade de ter dois ou mais acertos. Assim:

$P(X \geq 2 | X \geq 1) = \dfrac{P(X\geq 2)}{P(X \geq 1)}$

Podemos utilizar a probabilidade complementar para reescrever a equação:

$P(X \geq 2 | X \geq 1) = \dfrac{1 - P(X < 2)}{1 - P(X < 1)}$

A probabilidade de ter menos que dois acertos é acertar 1 vez ou nenhuma vez.

A probabilidade de ter menos que um acerto é não acertar nenhuma vez.

$P(X \geq 2 | X \geq 1) = \dfrac{1 - [P(X = 1 \| X = 0)]}{1 - P(X = 0)}$

$P(X \geq 2 | X \geq 1) = \dfrac{1 - P(X = 1) - P(X = 0)}{1 - P(X = 0)}$

Agora, podemos calcular essas probabilidades pelo Teorema de Bernoulli:

$p(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n-k}$

Onde n representa o número de disparos, k representa o número de acertos e p a probabilidade dele acertar.

Assim:

Probabilidade de nenhum acerto:

$P(X = 0) = p(12,0) = \dfrac{12!}{(12)! \cdot 0!} \cdot 0.9^{0} \cdot (0.1)^{12}$

$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 1^{-12}$

$P(X = 0) = 10^{-12}$

Probabilidade de um acerto:

$P(X = 1) = p(12,1) = \dfrac{12!}{(11)! \cdot 1!} \cdot 0.9^{1} \cdot (0.1)^{11}$

$P(X = 1) = 12 \cdot 0.9 \cdot 10^{-11}$

$P(X = 1) = 12 \cdot 0.9 \cdot 10^{-11}$

$P(X = 1) = 1,08 \cdot 10^{-10}$

E:

$P(X \geq 2 | X \geq 1) = \dfrac{1 - [1,08 \cdot 10^{-10} + 10^{-12}]}{1 - 10^{-12}}$

$P(X \geq 2 | X \geq 1) = \dfrac{1 - 1,09 \cdot 10^{-10}}{1 - 10^{-12}}$

$P(X \geq 2 | X \geq 1) = 0.999999999892$

Então, a probabilidade disso ocorrer é 99.9999999892 %