Question

Um hexágono regular ABCDEF está inscrito em uma circunferência de raio R.Se M,N,P e Q são os pontos médios de AB,BC, DE e EF, respectivamente, o perímetro do quadrilátero MNPQ é

Answer 1

Olá Simone!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{R(3 + \sqrt{3})}}$

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, saiba que os seis triângulos com vértice no centro do hexágono e bases coincidindo com os lados desse polígono regular nos permite concluir que o raio do círculo é igual a medida desse lado, pois eles são todos equiláteros.

De acordo com o enunciado, tiramos que no quadrilátero MNPQ, $\displaystyle \mathtt{MN \equiv PQ}$ e $\displaystyle \mathtt{MQ \equiv NP}$.

Com efeito, podemos determinar $\displaystyle \mathtt{\overline{MN}}$ a partir do $\displaystyle \mathtt{\Delta MBN}$, conforme figura em anexo! Além disso, note que $\displaystyle \mathtt{\overline{NP} = 2(R - r)}$, onde $\displaystyle \mathtt{r = \overline{BH}}$.

Uma vez que $\displaystyle \mathtt{\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = \widehat{E} = \widehat{F} = 120^o}$, pois o polígono é regular, temos no referido triângulo, que:

$\\ \displaystyle \mathsf{\sin 30^o = \frac{r}{\frac{R}{2}}} \\\\\\ \mathsf{\frac{1}{2} = r \cdot \frac{2}{R}} \\\\ \mathsf{R \cdot 1 = 2 \cdot (2r)} \\\\ \boxed{\mathsf{R = 4r}}$

Por conseguinte,

$\\ \displaystyle \mathsf{\tan 30^o = \frac{r}{\overline{MH}}} \\\\\\ \mathsf{\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{r}{\overline{MH}}} \\\\\\ \mathsf{\frac{\overline{MH}}{3} = \frac{r}{\sqrt{3}}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\overline{MH} = r\sqrt{3}}}$

Logo,

$\\ \displaystyle \mathsf{\overline{MN} = 2 \cdot \overline{MH}} \\\\ \mathsf{\overline{MN} = 2 \cdot r\sqrt{3}} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{MN} = 2r\sqrt{3}}}$

Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{\overline{NP} = 2 \cdot (R - r)} \\\\ \mathsf{\overline{NP} = 2 \cdot (4r - r)} \\\\ \mathsf{\overline{NP} = 2 \cdot 3r} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{NP} = 6r}}$

Assim, concluímos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{2p = \overline{MN} + \overline{NP} + \overline{PQ} + \overline{QM}} \\\\ \mathsf{2p = \left ( \overline{MN} + \overline{PQ} \right ) + \left ( \overline{NP} + \overline{QM} \right )} \\\\ \mathsf{2p = \left ( \overline{MN} + \overline{MN} \right ) + \left ( \overline{NP} + \overline{NP} \right )} \\\\ \mathsf{2p = 2 \cdot \left ( 6r \right ) + 2 \cdot \left ( 2r\sqrt{3} \right )} \\\\ \mathsf{2p = 12r + 4r\sqrt{3}} \\\\ \mathsf{2p = 4r \left ( 3 + \sqrt{3} \right )} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{2p = R \left ( 3 + \sqrt{3} \right )}}}$