Question

Um grupo de pessoas reuniu-se em uma festa. Na ocasião, cada par de pessoas do grupo cumprimentou-se com um único aperto de mão, resultando em um total de 861 apertos de mão. O total de pessoas do grupo era
A) 40
B) 42
C) 44
D) 46
E) 48

Answer 1

Seja $x$ o total de pessoas na festa, onde $x \in \mathbb{N}$. Se cada par de pessoas se cumprimentou apenas uma vez, o fato de "a pessoa $A$ cumprimentar a pessoa $B$" é equivalente ao fato de "a pessoa $B$ cumprimentar a pessoa $A$". Como a ordem dos elementos não importa (neste caso, a ordem das pessoas que se cumprimentam), trata-se de um caso de combinação.

O problema diz que temos 861 formas de combinar $x$ pessoas, de forma que elas se cumprimentem duas a duas. Sendo assim

$C_{x,2}=861\\ \\ \frac{x!}{2! \cdot (x-2)!}=861\\ \\ \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}{2! \cdot (x-2)!}=861\\ \\ \frac{x \cdot (x-1)}{2 \cdot 1}=861\\ \\ \frac{x \cdot (x-1)}{2}=861\ \ \ \rightarrow (\times 2)\\ \\ x \cdot (x-1)=2 \cdot 861\\ \\ x \cdot (x-1)=1722$

Como $x \in \mathbb{N}$, basta tentarmos encontrar dois números naturais consecutivos cujo produto dê $1722$. Fazendo algumas análises, vemos que

$42 \times 41=1722$.

Logo, $x=42\text{ pessoas no grupo}$.

A resposta é a letra $B)\ 42$