Question

Um grupo de estudos é composto por 5 meninas e 3 meninos. De quantas formas pode ser formada uma comissão com 3 deles, de modo que não sejam todos os 3 do mesmo sexo?

Answer 1

Olá!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{45}}$

Explicação passo a passo:

Podemos determinar a quantidade total de possibilidades, incluindo as comissões em que há pessoas do mesmo sexo, e depois excluir a referida restrição. Segue,

Decisão 1 (d1): combinar OITO estudantes entre si em subgrupos de TRÊS; $\displaystyle \mathtt{\# d_1 = C_{8, 3}}$.

Posto isto, temos:

$\displaystyle \mathsf{C_{8, 3} = \frac{8!}{(8 - 3)!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56}$

Ou seja, existem 56 comissões das quais devemos subtrair aquelas que figuram três meninos ou três meninas!

Para tanto, determinemos a quantidade de comissões em que aparecem somente três meninos. Segue,

Decisão 2 (d2): combinar CINCO meninos entre si em subgrupos de TRÊS; $\displaystyle \mathtt{\# d_2 = C_{5, 3}}$.

$\displaystyle \mathsf{C_{5, 3} = \frac{5!}{(5 - 3)!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 1 \, 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10}$

Ademais, devemos encontrar a quantidade de comissões em que aparecem apenas três meninas. Segue,

Decisão 3 (d3): combinar TRÊS meninas entre si em subgrupos de TRÊS; $\displaystyle \mathtt{\# d_3 = C_{3, 3}}$.

$\displaystyle \mathsf{C_{3, 3} = \frac{3!}{(3 - 3)!3!} = \frac{3!}{0! \, 3!} = \frac{1}{1} = 1}$

Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{56 - (10 + 1) =} \\\\ \mathsf{56 - 11 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{45}}}$