Question

Um grupo de 10 rapazes, dentre os quais 2 eram irmãos (Pablo e Gabriel), decidiu acampar e levou duas barracas diferentes: uma com capacidade máxima de 3 pessoas e a outra de 7 pessoas.
De quantos modos diferentes todas as pessoas do grupo podem ser alojadas, se os dois irmão ficarem em barracas separadas?​

Answer 1

Resposta:

56 formas

Explicação passo a passo:

Se os irmão P e G tem que ficar em barracas diferentes, tem-se duas formas de fazer isso:

P na barraca a e G na barraca b  ou

G na barraca a e P na barraca b

As outras 8 pessoas não possuem restrições para escolha das barracas.

2 ·      P  ____  ____          G  ____  ____  ____  ____  ____  ____

                      $C_{8 , 2}$                                               $C_{6 , 6}$  

$2 * \frac{8!}{(8-2)!2!} * \frac{6!}{(6-6)!6!}$

$2 * \frac{8*7*6!}{6!2!} * \frac{6!}{0!6!}$

$2 * \frac{8*7*6!}{2*1*6!} * \frac{6!}{1*6!}$

$2 * \frac{8*7}{2} * 1$

$8 * 7 * 1$

$56$

Podem ser alojadas de 56 formas

Answer 2

Os modos ou maneiras diferentes de alojar todos os 10 rapazes mantendo os dois irmãos (Pablo e Gabriel)  em barracas separadas são: 56

Análise Combinatória - Combinação Simples

Combinação simples é parte da matemática que se situa dentro da  análise combinatória. Escreve-se  $C_{n,k}$ e lê-se: combinação de n elementos tomados de k em k. A fórmula:

$C_{n,k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Dados do problema:

10 pessoas

2 irmãos

2 barracas diferentes

1ª barraca: 7 rapazes

2ª barraca: 3 rapazes

     

Com todos os rapazes distribuídos nas duas barracas (espaço amostral):

$C_{10,3} . C_{7,7}=120$

Vamos calcular de quantas maneiras os dois irmãos podem estar juntos nas duas barracas para depois subtrair a soma dos dois resultados do espaço amostral (120).

Com os  dois irmãos juntos na  barraca de capacidade para 7 pessoas:

$C_{2,2} . C_{8,3}= \{\frac{2!}{2!(2-2)!} =\frac{2}{2.0!} =\frac{2}{2.1}=\frac{2}{2}=1\}.\{\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8!}{3!5!}=\frac{8.7.6}{6}=\frac{336}{6}=56$

Com os dois irmãos juntos na barraca com capacidade para 3 pessoas:

$C_{2,2} .C_{8,7} = 1 . 8\therefore C_{2,2} .C_{8,7}=8$

Maneiras diferentes de alojar todos os rapazes com os dois irmãos juntos:

56 + 8 = 64

Maneiras diferentes de alojar todos os rapazes com os dois irmãos separados: espaço amostral - maneiras diferentes de alojar todos os rapazes com os dois irmãos juntos.

120 - 64 = 56

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