Question

Um grande proprietário de terra acabou falecendo e,
em seu testamento, dizia que toda sua propriedade
deveria ser distribuída entre seus três filhos de
modo que a parte recebida por cada um estivesse
em progressão geométrica, em que o filho mais
velho ficaria com a maior parte da propriedade e o
mais novo, a menor. Se toda a área possui, no total
63 km2 de terra e a parte que coube ao filho mais
novo foi de 3 km2, qual a parte que coube ao filho mais velho?

a)48 km2
b)36 km2
c)24 km2
d)18 km2
e)12 km2

Answer 1

A parte que coube ao filho mais velho tem área de 48 km².

• Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo subsequente é obtido com o produto do termo anterior por uma constante chamada razão (q).
• O filho mais novo recebeu 3 km² então o outro filho recebeu uma área equivalente a 3⋅q e o filho mais velho recebeu uma área equivalente a 3⋅q⋅q (ou 3⋅q²).
• A soma das três áreas totaliza 63 km², então:

3 + 3q + 3q² = 63 ⟹ Subtraia 3 de ambos os membros.

3q + 3q² = 60 ⟹ Divida ambos os membros por 3.

q + q² = 20 ⟹ Subtraia 20 de ambos os membros.

q² + q − 20 = 0

• Foi obtido uma equação do segundo grau de coeficientes:

a = 1

b = 1

c = −20

• Solucione pelo método de sua preferência e determine o valor da razão (q).

• Usando as relações de Girard:

S: soma das duas raízes (q₁ + q₂).

P: produto das duas raízes  (q₁ ⋅ q₂)

$\large \sf S = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{1} = -1$

$\large \sf P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-20}{1} = -20$

• Encontre dois números (as raízes que são a solução dessa equação) que somados resulta −1 e multiplicados resulta −20.
• Se a soma é negativa então a raiz maior é negativa.
• Se o produto é negativo então a outra raiz é positiva.
• Os pares de números cujo produto é −20 são:

$\large \begin{array}{ | c | c | c | c |l}q_1 & q_2 & S & P \\\cline{1 - 4} 1 & -20 & -19 & -20 & \text {\sf N\~ao serve pois a soma n\~ao \'e -1 .} \\2 & -10 & -8 &-20 & \text {\sf N\~ao serve pois a soma n\~ao \'e -1 .}\\4 & -5 & -1&-20 & \text {\sf \bf Serve! pois S= -1 e P = -20 }\\\end {array}$

• As raízes são 4 e −5. Escreva o conjunto solução.

S = {4, −5}

• Observe que a raiz negativa deve ser descartada para não se obter área negativa, portanto q = 4.
• Determine a parte que coube ao filho mais velho.

3q² = 3⋅4² = 3·16 = 48 km².

A parte que coube ao filho mais velho tem área de 48 km².

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