Question

Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia. O dia da colheita de maior ganho para o fruticultor foi:

Answer 1

Utilizando a formulção de x do vertice da parabola temos que o ganho maximo dessa venda foi no 11º dia.

Explicação passo-a-passo:

Vamos montar primeiramente a função P(d) de preço da cada fruta em função do dia "d", que seria dada por:

$P(d)=2-0,02d$

Note que eu coloquei 2 como constante, pois se colocarmos o primeiro dia como sendo d=0, então, fica certinho, 2, -0 = 2, ou seja, no primeiro dia ele vendeu por 2 reais.

Da mesma forma com a função colheita C(d) em função do dia "d":

$C(d)=80+d$

Da mesma forma coloquei 80 como sendo constante pois se o primeiro dia, for d=0, então no primeiro dia ele obteve 80 frutas.

Agora temos a função que diz o preço de cada fruta e o número de frutas, basta multiplicar uma pela outra, pra saber a função R(d) Receita que ele obteve cada dia:

$R(d)=C(d).P(d)$

$R(d)=(80+d)(2-0,02d)$

$R(d)=-0,02d^2+0,4d+160$

Agora note que esta função receita é uma função do segundo grau que forma uma parabola, especificamente voltada para baixo, pois o coeficiente do d^2 é negativo, assim esta parabola temo um ponto maximo, que é onde o valor ganho nesta venda foi maxima, então basta encontrarmos que maximo que é o x do vertice, e o x do vertice é dada pela formula:

$Xv=-\frac{b}{2a}$

Substituindo então na nossa formula (mas ao invés de X do vertice será D do vertice):

$Dv=-\frac{0,4}{2.-0,02}$

$Dv=\frac{0,4}{0,04}$

$Dv=10$

Então o ganho maximo dessa venda foi em d=10, ou no 11º dia.