Question

Um frasco em forma de um cone circular reto com boca de 8 cm de diâmetro e 16 cm de altura contém um líquido até a altura de 10 cm, conforme mostra a figura.



Considerando  = 3, é correto concluir que o volume de líquido, em cm3, que ainda precisa ser colocado dentro desse cone para completar sua capacidade máxima é

Answer 1

Oi Josef,

Primeiro, vamos determinar a capacidade máxima desse cone, em cm³.
O volume V de um cone circular reto é dado por:
$V = \frac{1}{3}Ab*h$

Onde:
Ab = Área da base
h = Altura do cone

Sabemos que h = 16cm, vamos descobrir Ab em função do raio (4cm). Já que a base desse cone é um círculo, e ainda adotando valor 3 para pi, podemos fazer o cálculo através de:
$Ab = \pi r^2 \\ Ab = 3*4^2 \\ Ab = 3*16 \\ Ab = 48cm^3$

Logo, substituindo na relação do volume:
$V = \frac{1}{3}*48*16 \\ V = 256cm^3$

Como queremos descobrir o volume do líquido necessário para terminar de preencher o fraco, podemos simplesmente calcular o volume que existe atualmente de líquido nesse frasco e subtrair do volume total que encontramos acima.

Note que a figura que representa a quantidade de líquido que existe atualmente também é um cone circular reto, de altura 10cm, mas de diâmetro ainda indeterminado. Já que as geratrizes dessass figura são triângulos retângulos semelhantes, podemos estabelecer a seguinte relação, dizendo que a altura 16cm está para a altura 10cm, assim como o raio 4cm está para o raio xcm:
$\frac{16}{10} = \frac{4}{x} \\ \\ 16x = 40 \\ \\ x = 2,5cm$

Já que o raio do cone menor é 2,5cm, podemos por fim calcular seu volume:
$Ab = \pi(2,5)^2 \\ Ab = 18,75cm^3$

$V = \frac{1}{3}*18,75*10 \\ \\ V = 62,5cm^3$

Portanto, o volume restante necessário para encher será dado pela diferença entre o volume total calculado e o volume atual:
$V = 256 - 62,5 \\ V = 193,5cm^3$

Dessa forma, podemos afirmar que ainda é preciso colocar 193,5cm³ desse líquido para completar o frasco.

Bons estudos!

Answer 2

Olá.

Dados:

$d= 8 cm \\ h= 16 cm \\ h_l= 10 cm \\ V_f=? \\ V_a= ?$

Então calculando o volume específico do cone, temos:

$V= \frac{1}{3}* \pi *r^2*h \\ V= \frac{1}{3}*3*4^2*16 \\ V= \frac{3*16*16}{3} = \frac{768}{3}=  256cm^3 <--$

Agora o volume ocupado pelo líquido:

$V= \frac{1}{3}* \pi *r^2*h \\ V= \frac{1}{3}*3* 4^2*10 \\ V= \frac{1}{3}*3*16*10 \\ V= \frac{480}{3} \\ V= 160 cm^3 <--$

O volume necessário para ocupar todo recipiente:

$V_t= 256-160 \\ V_t= 96 cm^3 <--$

Bons estudos!